Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于兩點(diǎn)，并經(jīng)過(guò)點(diǎn)，已知點(diǎn)坐標(biāo)是，點(diǎn)坐標(biāo)是．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）求函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）二次函數(shù)的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最小？若點(diǎn)存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若點(diǎn)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）

（2）(4,2)，(6,0)

（3）存在，C(4,2)

【解析】

（1）只需運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）只需運(yùn)用配方法就可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，只需令y=0就可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）連接CA，由于BD是定值，使得△CBD的周長(zhǎng)最小，只需CD+CB最小，根據(jù)拋物線是軸對(duì)稱圖形可得CA=CD，只需CA+CB最小，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可得：當(dāng)點(diǎn)A、C、B三點(diǎn)共線時(shí)，CA+CB最小，只需用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，就可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)．

（1）把A(2，0)，B(8，6)代入，得

解得

∴二次函數(shù)的解析式為

故答案為：

（2）由得二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4，2)

令y=0，得

解得：x1=2，x2=6，

∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(6，0)．

故答案為：(4，2)，(6，0)

（3）二次函數(shù)的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)C，使得△CBD的周長(zhǎng)最�。�

連接CA，如圖，

∵點(diǎn)C在二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=4上，

∴xC=4，CA=CD，

∴△CBD的周長(zhǎng)=CD+CB+BD=CA+CB+BD，

根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可得當(dāng)點(diǎn)A、C、B三點(diǎn)共線時(shí)，CA+CB最小，此時(shí)，由于BD是定值，因此△CBD的周長(zhǎng)最�。�

設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，

把A(2，0)、B(8，6)代入y=mx+n，得

解得

∴直線AB的解析式為y=x2

當(dāng)x=4時(shí)，y=42=2，

∴當(dāng)二次函數(shù)的對(duì)稱軸上點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4，2)時(shí)，△CBD的周長(zhǎng)最�。�

故答案為：存在，C(4，2)