Question

已知：如圖，AB、AC、ED分別切⊙O于點(diǎn)B、C、D，且AC⊥DE于E，BC的延長(zhǎng)線交直線DE于點(diǎn)F．若BC=24，sin∠F=

3

5

．
（1）求EF的長(zhǎng)；
（2）試判斷直線AB與CD是否平行？若平行，給出證明；若不平行，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）在Rt△CEF中，∠CEF=90°，
由sin∠F=

3

5

，設(shè)CE=3x，CF=5x，
由勾股定理得EF=4x，
∵ED、EC分別切⊙O于點(diǎn)D、C，
∴ED=EC=3x，
由切割線定理得FD²=FC•FB，即（7x）²=5x•（5x+24），
∴x²-5x=0，
∴x₁=5，x₂=0（不合題意，舍去），
∴EF=4x=20；（4分）

（2）AB與CD不平行，（5分）
連接BD，
∵ED切⊙O于點(diǎn)D，
∴∠CBD=∠CDF，
又∵∠F=∠F，
∴△BDF∽△DCF，
∴

BD

DC

=

DF

CF

，
∵CF=5x=25，DF=7x=35，
在等腰直角△CDE中，可求得DC=15

2

，
∴BD=21

2

，（7分）BC=24，
∴BD≠BC，
∴∠BDC≠∠BCD，
又∵AB切⊙O于點(diǎn)B，
∴∠ABC=∠BDC，
∴∠ABC≠∠BCD，
∴AB與CD不平行．（8分）