Question

如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)B′與點(diǎn)B關(guān)于AE對(duì)稱(chēng)，B′B與AE交于點(diǎn)F，連接AB′，DB′，F(xiàn)C．下列結(jié)論：①AB′=AD；②△FCB′為等腰直角三角形；③∠ADB′=75°；④∠CB′D=135°．正確的個(gè)數(shù)是

A．4      B．3      C．2      D．1

Answer 1

B

①∵點(diǎn)B′與點(diǎn)B關(guān)于AE對(duì)稱(chēng)，
∴△ABF與△AB′F關(guān)于AE對(duì)稱(chēng)，
∴AB=AB′，
∵AB=AD，
∴AB′=AD．故本選項(xiàng)正確；
②如圖，連接EB′．

則BE=B′E=EC，
∠FBE=∠FB′E，
∠EB′C=∠ECB′．
則∠FB′E+∠EB′C=∠FBE+∠ECB′=90°，
即△BB′C為直角三角形．
∵FE為△BCB′的中位線，
∴B′C=2FE，
∵△B′EF∽△AB′F，
∴，
故FB′=2FE．
∴B′C=FB′．
∴△FCB′為等腰直角三角形．
故本選項(xiàng)正確．
③假設(shè)∠ADB′=75°成立，
則∠AB′D=75°，
∠ABB′=∠AB′B=360°-75°-75°-90°=60°，
∴△ABB′為等邊三角形，
故B′B=AB=BC，與B′B＜BC矛盾，
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
④設(shè)∠ABB′=∠AB′B=x度，
∠AB′D=∠ADB′=y度，
則在四邊形ABB′D中，2x+2y+90=360，
即x+y=135度．
又∵∠FB′C=90°，
∴∠DB′C=360°-135°-90°=135°．
故本選項(xiàng)正確．
故選B．