Question

【題目】如圖，二次函數(shù)(其中)的圖像與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為　　，　　；

(2)若為的外心，且與的面積之比為，求的值；

(3)在(2)的條件下，試探究拋物線上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）存在，或

【解析】

（1）令，結(jié)合點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸，即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；然后求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，得到，即可得到答案；

（2）由點(diǎn)D是外心，則，得到為等腰直角三角形，則，利用相似三角形的性質(zhì)，即可得到答案；

（3）根據(jù)題意，可分為兩種情況進(jìn)行分析，分別求出每一種情況的坐標(biāo)，即可得到答案．

解：（1）令，則，

解得：，.

，.

令，則，

，

.

，

為等腰直角三角形，且；

（2）為的外心，

，且.

為等腰直角三角形.

.

.

，

.

（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，過程如下：

，

，

，且拋物線的對(duì)稱軸為直線.

作的外接圓，設(shè)與的另一個(gè)交點(diǎn)為.

為的外心，

，且在上.

點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，

.

易證，

.

即為滿足條件的一個(gè)點(diǎn).

在軸上取點(diǎn)，易證，

.

，，

.

由

解得：或

.

綜合上述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．