Question

如圖1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以O(shè)B為邊，在△OAB外作等邊△OBC，D是OB的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)交OC于E．

（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；
（2）如圖2，將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為FG，求OG的長(zhǎng)．

Answer 1

(1)證明見解析；（2）1.

試題分析：（2）首先可得CE∥AB，D是OB的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可證得BD=AD，∠ADB=60°，又由△OBC是等邊三角形，可得∠ADB=∠OBC，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可證得BC∥AE，繼而可得四邊形ABCD是平行四邊形；
（3）首先設(shè)OG的長(zhǎng)為x，由折疊的性質(zhì)可得：AG=CG=8-x，然后根據(jù)勾股定理可得方程（8-x）²=x²+（4）²，解此方程即可求得OG的長(zhǎng)．
試題解析:（1）證明：∵∠OAB=90°，
∴AB⊥x軸，
∵y軸⊥x軸，
∴AB∥y軸，即AB∥CE，
∵∠AOB=30°，
∴∠OBA=60°，
∵DB=DO=4
∴DB=AB=4
∴∠BDA=∠BAD=120°÷2=60°，
∴∠ADB=60°，
∵△OBC是等邊三角形，
∴∠OBC=60°，
∴∠ADB=∠OBC，
即AD∥BC，
∴四邊形ABCE是平行四邊形；
（2）解：設(shè)OG的長(zhǎng)為x，
∵OC=OB=8，
∴CG=8-x，
由折疊的性質(zhì)可得：AG=CG=8-x，
在Rt△AOG中，AG2=OG2+OA2，
即（8-x）²=x²+（4）²，
解得：x=1，
即OG=1．
考點(diǎn): 1.翻折變換（折疊問題）；2.等邊三角形的性質(zhì)；3.平行四邊形的判定與性質(zhì).