Question

【題目】圖1是一段圓柱體的樹干的示意圖，已知樹干的半徑r=10cm，AD=45cm. （π值取3）

（1）若螳螂在點(diǎn)A處，蟬在點(diǎn)C處，圖1中畫出了螳螂捕蟬的兩條路線，即A→D→C和A→C，圖2是該圓柱體的側(cè)面展開圖，判斷哪條路的距離較短，并說(shuō)明理由；

（2）若螳螂在點(diǎn)A處，蟬在點(diǎn)D處，螳螂想要捕到這只蟬，但又怕蟬發(fā)現(xiàn)，于是螳螂繞到

后方去捕捉它，如圖3所示，求螳螂爬行的最短距離；（提示： =75）

（3）圖4是該圓柱體的側(cè)面展開圖，蟬N在半徑為10cm的⊙O的圓上運(yùn)動(dòng)，⊙O與BC相切，點(diǎn)O到CD的距離為20cm，螳螂M在線段AD運(yùn)動(dòng)上，連接MN，MN即為螳螂捕蟬時(shí)螳螂爬行的距離，若要使MN與⊙O總是相切，求MN的長(zhǎng)度范圍.

圖1 圖2 圖3 圖4

Answer 1

【答案】（1）A→C的距離較短；（2）螳螂爬行的最短距離為75cm；

（3）10cm≤MN≤5cm.

【解析】分析：（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可判斷出A→C的距離較短；（2）由題意得出AD′的距離最短，再利用勾股定理即可求解；（3）連接MO，ON，當(dāng)MO⊥AD時(shí)，MO最短，∴MN的長(zhǎng)度最短，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，MO最長(zhǎng)，從而得出MN的長(zhǎng)度范圍.

本題解析：（1）由三角形三邊關(guān)系可知，AD+DC＞AC, A→C的距離較短（2）如圖，AD′即為螳螂爬行的最短距離，AA′=60cm，A′D′=45cm，∴AD′= =75cm

（3）連接MO，ON，易得MN2+NO2=MO2. 當(dāng)MO⊥AD時(shí)，MO最短，∴MN的長(zhǎng)度最短，此時(shí)MO=30-10=20cm，∴MN=10cm. 當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，MO最長(zhǎng)，∴MN的長(zhǎng)度最長(zhǎng). 過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F. 易得MF=20cm，OF=25cm，∴MO=5cm，，∴MN=5cm