Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上的一點(diǎn)，過C點(diǎn)作CF⊥CE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：△CDE∽△CBF；
（2）若B為AF的中點(diǎn)，CB=3，DE=1，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D=∠1=∠2+∠3=90°，

∵CF⊥CE

∴∠4+∠3=90°

∴∠2=∠4，

∴△CDE∽△CBF

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD=AB，

∵B為AF的中點(diǎn)

∴BF=AB，

設(shè)CD=BF=x

∵△CDE∽△CBF，

∴ ，

∴ ，

∵x＞0，

∴x= ，

即CD的長(zhǎng)為

【解析】（1）先利用矩形的性質(zhì)得∠D=∠1=∠2+∠3=90°，然后根據(jù)等角的余角相等得到∠2=∠4，則可判斷△CDE∽△CBF；（2）先∴BF=AB，設(shè)CD=BF=x，再利用△CDE∽△CBF，則可根據(jù)相似比得到 ，然后利用比例性質(zhì)求出x即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解矩形的性質(zhì)(矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等)，還要掌握相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．