Question

已知函數(shù)，，．
(1)若，試判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值的表達(dá)式．

Answer 1

(1)當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，證明過程詳見試題解析； (2)函數(shù)的最大值的表達(dá)式.

解析試題分析：(1)當(dāng)時(shí)，，用單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)式單調(diào)遞增的；
(2)當(dāng)時(shí)，； 分和兩種情況分別求出各段的最大值即可.
試題解析：(1)判斷：若，函數(shù)在上是增函數(shù).        1分
證明：當(dāng)時(shí)，，
在區(qū)間上任意，設(shè)，

所以，即在上是增函數(shù).   5分
(注：用導(dǎo)數(shù)法證明或其它方法說明也同樣給5分)
(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f3/d/1nagr3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以      7分
①當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上也是增函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為；               9分
②當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，
在上是增函數(shù)，                                11分
而，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值為；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值為；13分
綜上得，                      15分
考點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)最值的求法、分類討論思想.