Question

設(shè)是一個(gè)自然數(shù)，是的各位數(shù)字的平方和，定義數(shù)列：是自然數(shù)，（，）．
（1）求，；
（2）若，求證：；
（3）當(dāng)時(shí)，求證：存在，使得．

Answer 1

（1），；（2）證明過程詳見解析；（3）證明過程詳見解析.

試題分析：本題是一道新定義題，主要考查歸納推理、數(shù)學(xué)歸納法、分類討論思想等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力和轉(zhuǎn)化能力.第一問，由于是a的各位數(shù)字的平方和，所以，；第二問，通過題干中給出的的定義設(shè)出的值，利用，得到的值，然后用作差法比較和的大小；第三問，由已知條件，由于且，得，由歸納推理得，再用數(shù)學(xué)歸納法證明一下，因此存在（），有，再分類討論p、q的情況，得出結(jié)論.
（1）；
．                       5分
（2）假設(shè)是一個(gè)位數(shù)（），
那么可以設(shè)，
其中且（），且．
由可得，．
　　　　　所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051810575485.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．
而，
所以，即．                          9分
（3）由，即，可知．
同理，可知．
由數(shù)學(xué)歸納法知，對(duì)任意，有．
即對(duì)任意，有．
因此，存在（），有．
則，， ，，
可得對(duì)任意，，有．
設(shè)，即對(duì)任意，有．
若，取，，則有．
若，由，可得，
取，，則有．                 14分