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        1. 已知⊙O:x2+y2=1和定點A(2,1),由⊙O外一點P(a,b)向⊙O引切線PQ,切點為Q,且滿足PQ=PA.
          (1)證明:P(a,b)在一條定直線上,并求出直線方程;
          (2)求線段PQ長的最小值;
          (3)若以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點,試求半徑取最小值時的⊙P方程.
          (1)由點Q為切點,可得PQ⊥OQ,
          由勾股定理得:|PQ|2=|OP|2-|OQ|2,
          又|PQ|=|PA|,
          ∴|PQ|2=|PA|2,即(a2+b2)-12=(a-2)2+(b-1)2,
          化簡得:2a+b-3=0,
          則所求直線方程為2a+b-3=0;
          (2)由2a+b-3=0,得b=-2a+3,
          |PQ|=
          a2+b2-1
          =
          a2+(-2a+3)2-1
          =
          5a2-12a+8
          =
          5(a-
          6
          5
          )2+
          4
          5
          ,
          故當a=
          6
          5
          時,|PQ|min=
          2
          5
          5
          ,即線段PQ長的最小值為
          2
          5
          5
          ;
          (3)設(shè)圓P的半徑為R,Q為圓P與圓O有公共點,圓O的半徑為1,
          ∴|R-1|≤|OP|≤R+1,即R≥||OP|-1|且R≤|OP|+1,
          而|OP|=
          a2+b2
          =
          a2+(-2a+3)2
          =
          5(a-
          6
          5
          )
          2
          +
          9
          5
          ,
          故當a=
          6
          5
          時,|OP|min=
          3
          5
          5
          ,此時b=-2a+3=
          3
          5
          ,Rmin=
          3
          5
          5
          -1,
          則半徑取最小值時圓P的方程為(x-
          6
          5
          2+(y-
          3
          5
          2=(
          3
          5
          5
          -1)2
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