Question

【題目】已知函數(shù)（且）的零點是.

（1）設(shè)曲線在零點處的切線斜率分別為，判斷的單調(diào)性；

（2）設(shè)是的極值點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）在單調(diào)遞增，在遞減（2）見解析

【解析】

（1）先求出函數(shù)的零點，，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得關(guān)于的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；

（2）對函數(shù)進行求導(dǎo)得，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)，不妨設(shè)，利用所證不等式，即可證得結(jié)論.

由題可知：函數(shù)的定義域為

（1）由，得，.

則，，

所以.

令.則，

所以當時，；當時，

故在單調(diào)遞增，在遞減.

（2），

又在，恒成立，

由題知為的極值點，

所以且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

故為的極小值點.

令，

則

，

故，

因為，所以，所以在單調(diào)遞減，

所以

所以在單調(diào)遞減，所以

所以，

不妨設(shè)，

所以，又在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

所以，即.