Question

如圖，四棱錐的底面是正方形，平面，為上的點(diǎn)，且.

（1）證明：；
（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）二面角的余弦值為.

試題分析：（1）要證，先證平面，則要證明垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，先由正方形的對(duì)角線互相垂直得到，再由平面，得到，結(jié)合直線與平面垂直的判定定理得到平面，從而得到；（2）以為原點(diǎn)，、、所在的直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求二面角的余弦值.
試題解析：（1）∵平面，∴，
∵底面是正方形，∴，∴平面，
∵平面，∴.
（2）以為原點(diǎn)，、、所在的直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)，則，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030812480577.png" style="vertical-align:middle;" />，
易知，，,，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，則，，
即，令，得，同理可取平面的法向量，
所以，所以二面角的余弦值為.