Question

【題目】已知函數(shù).

（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（II）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（III）在（II）的條件下，對任意的，求證：.

Answer 1

【答案】（I）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（II）；(III)證明見解析.

【解析】試題分析：（I）利用時為單調(diào)增函數(shù)，時為單調(diào)減函數(shù)這一性質(zhì)來分情況討論題中單調(diào)區(qū)間問題；（II）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與最值，若在上恒成立，則函數(shù)的最大值小于或等于零.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，，說明時，不合題意舍去.當(dāng)時，的最大值小于零.但在上恒成立，所以只能等于零.令即可求得答案；（III）首先將的表達(dá)式表達(dá)出來，化簡轉(zhuǎn)化為的形式，再根據(jù)（II）的結(jié)論得到，后逐步化簡，原命題得證.

試題解析：（I），

當(dāng)時，恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)時，由，得，由，

得，此時的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（II）由（I）知：當(dāng)時，在上遞增，，顯然不成立；

當(dāng)時，，只需即可，

令，則，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

.

對恒成立，也就是對恒成立，

，解得，若在上恒成立，則.

(III)證明：，

由（II）得在上恒成立，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

又由得，所以有，即.

則，

則原不等式成立. ………（12分）