連云港市2009屆高三數(shù)學(xué)模擬試題一數(shù)學(xué) 組卷:閆振仁——青夏教育精英家教網(wǎng)—

連云港市2009屆高三數(shù)學(xué)模擬試題一

數(shù)學(xué)（必做題）

　組卷：閆振仁

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．不需要寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填在答題卡相應(yīng)位置上．

1．已知集合,則= 　　．

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2．已知直線，當(dāng) 時(shí)，．

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3．若將ww w.ks 5u.c om一枚硬幣連續(xù)拋擲三次，則出現(xiàn)“至少一次正面向上”的概率為　　．

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4．是純虛數(shù)，則　　．

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5．若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且漸近線方程是，則這條雙曲線的方程是　　．

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6．右圖是一個(gè)算法的程序框圖，該算法所輸出的結(jié)果是　　．

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7．已知正三棱錐主視圖如圖所示，其中中，，則這個(gè)

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正三棱錐的左視圖的面積為

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8．從某項(xiàng)綜合能力測(cè)試中抽取100人的成績(jī)，統(tǒng)計(jì)如下表，則這100人成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為．

分?jǐn)?shù)

人數(shù)

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9．若數(shù)列滿足（為常數(shù)），則稱數(shù)列為等比和數(shù)列，k稱為公比和．已知數(shù)列是以3為公比和的等比和數(shù)列，其中，則　　．

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10．動(dòng)點(diǎn)在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是　　．

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11．已知，則= ．

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12．已知，設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，那么　　．

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13．已知P為拋物線的焦點(diǎn),過P的直線l與拋物線交與A,B兩點(diǎn)，若Q在直線l上,且滿足，則點(diǎn)Q總在定直線上．試猜測(cè)如果P為橢圓的左焦點(diǎn)，過P的直線l與橢圓交與A,B兩點(diǎn)，若Q在直線l上,且滿足，則點(diǎn)Q總在定直線上．

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14．曲邊梯形由曲線所圍成，過曲線上一點(diǎn)P作切線，使得此切線從曲邊梯形上切出一個(gè)面積最大的普通梯形，這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．

15（本小題滿分14分）

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二、解答題：本大題共6小題，共90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

在中，．

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（Ⅰ）求邊的長(zhǎng)度；

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（Ⅱ）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求中線的長(zhǎng)度．

16（本小題滿分14分）

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如圖，正三棱柱中，已知，為的中點(diǎn)．

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（Ⅰ）求證：；

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（Ⅱ）試在棱上確定一點(diǎn)，使得平面．

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17（本小題滿分15分）

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已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足點(diǎn)P是線段F₁Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F₂Q上，并且滿足．

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（Ⅰ）設(shè)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明；

（Ⅱ）求點(diǎn)T的軌跡C的方程；

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（Ⅲ）試問：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M，使△F₁MF₂的面積S=若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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18（本小題滿分16分）

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為了保護(hù)一件珍貴文物，博物館需要在一種無色玻璃的密封保護(hù)罩內(nèi)充入保護(hù)氣體.假設(shè)博物館需要支付的總費(fèi)用由兩部分組成：罩內(nèi)該種氣體的體積比保護(hù)罩的容積少0.5立方米，且每立方米氣體費(fèi)用1千元；‚需支付一定的保險(xiǎn)費(fèi)用，且支付的保險(xiǎn)費(fèi)用與保護(hù)罩容積成反比，當(dāng)容積為2立方米時(shí)，支付的保險(xiǎn)費(fèi)用為8千元.

（Ⅰ）求博物館支付總費(fèi)用y與保護(hù)罩容積V之間的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅱ）求博物館支付總費(fèi)用的最小值；

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（Ⅲ）如果要求保護(hù)罩可以選擇正四棱錐或者正四棱柱形狀，且保護(hù)罩底面（不計(jì)厚度）正方形邊長(zhǎng)不得少于1.1米，高規(guī)定為2米. 當(dāng)博物館需支付的總費(fèi)用不超過8千元時(shí)，求保護(hù)罩底面積的最小值（可能用到的數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留一位小數(shù)）．

19（本小題滿分16分）

已知函數(shù)

（I）求的極值；

（II）若的取值范圍；

（III）已知

20（本小題滿分16分）

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已知分別以為公差的等差數(shù)列,．

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（Ⅰ）若，,且存在正整數(shù),使得,求證:

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（Ⅱ）若，且數(shù)列的前項(xiàng)和滿足,求的通項(xiàng)公式.

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（Ⅲ）對(duì)于給定的正整數(shù)m，若求的最大值．

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數(shù) 學(xué)（附加題）

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21．（選做題）從A，B，C，D四個(gè)中選做2個(gè)，每題10分，共20分．

A．選修4―1 幾何證明選講

試題詳情

如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點(diǎn)，PBC為割線，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E點(diǎn)，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，且DE²=EF?EC.

（Ⅰ）求證：ÐP=ÐEDF；

（Ⅱ）求證：CE?EB=EF?EP．

B．選修4―2　矩陣與變換

試題詳情

已知，若所對(duì)應(yīng)的變換把直線變換為自身，求實(shí)數(shù)，并求M的逆矩陣．

C．選修4―4　參數(shù)方程與極坐標(biāo)

試題詳情

自極點(diǎn)O作射線與直線相交于點(diǎn)M，在OM上取一點(diǎn)P，使得，求點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程．

D．選修4―4　不等式證明

試題詳情

設(shè)a、b、c均為實(shí)數(shù)，求證：++≥++．

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22．必做題（本小題滿分10分）

如圖，已知三棱錐O－ABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求異面直線BE與AC所成角的余弦值；

（Ⅱ）求二面角A－BE－C的余弦值．

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23．必做題（本小題滿分10分）

試題詳情

隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)（單位：萬元）為．

（Ⅰ）求的分布列；

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（Ⅱ）求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)（即的數(shù)學(xué)期望）；

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（Ⅲ）經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次品率降為，一等品率提高為．如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？

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一、填空題

1．； 2．； 3．； 4．； 5．；

6．； 7．； 8．3； 9．． 10．

11．； 12．； 13．； 14．．

二、解答題

15．解：（1）由得：

，

由正弦定理知: ，

（2），

由余弦定理知：

16．解：（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連接

因?yàn)?sub>是正三角形，

所以

又是正三棱柱，

所以面，所以

所以有面

因?yàn)?sub>面

所以；

（Ⅱ）為的三等分點(diǎn)，．

連結(jié)，，

∵ ，∴ ．

∴ ， ∴

又∵面，面

∴ 平面

17．解（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）,由P（x,y）在橢圓上，得

又由知，

所以

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（－，0）在軌跡上．

當(dāng)且時(shí)，由，得．

又，所以T為線段F₂Q的中點(diǎn)．

在△QF₁F₂中，，所以有

綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是

（Ⅲ） C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是

由③得，由④得所以，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=；

當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M．

當(dāng)時(shí)，，

由，

，

，得

18．解：（1）（或）（）

（2）

當(dāng)且僅當(dāng)，即V=4立方米時(shí)不等式取得等號(hào)

所以，博物館支付總費(fèi)用的最小值為7500元．

（3）解法1：由題意得不等式：

當(dāng)保護(hù)罩為正四棱錐形狀時(shí)，，代入整理得：，解得；

當(dāng)保護(hù)罩為正四棱柱形狀時(shí)，，代入整理得：，解得

又底面正方形面積最小不得少于，所以，底面正方形的面積最小可取1.4平方米

解法2. 解方程，即得兩個(gè)根為

由于函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，總費(fèi)用超過8000元，所以V取得最小值

由于保護(hù)罩的高固定為2米，所以對(duì)于相等體積的正四棱錐與正四棱柱，正四棱柱的底面積是正四棱錐底面積的．所以當(dāng)保護(hù)罩為正四棱柱時(shí)，保護(hù)罩底面積最小， m²

又底面正方形面積最小不得少于，，所以，底面正方形的面積最小可取1.4平方米

19．解：（Ⅰ）令得

當(dāng)為增函數(shù)；

當(dāng)為減函數(shù)，

可知有極大值為

（Ⅱ）欲使在上恒成立，只需在上恒成立，

設(shè)

由（Ⅰ）知，，

（Ⅲ），由上可知在上單調(diào)遞增，

①，

同理 ②

兩式相加得

20．解：（1）證明：因?yàn)?sub>

所以即

可化為:

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)

故

（2）因?yàn)?sub>

又由可知 =

即 =

解之得

故得所以

因此的通項(xiàng)公式為..

（3）解：

所以

即S的最大值為

三、附加題

21A．（1）∵DE²=EF?EC，∴DE : CE=EF: ED．

∵ÐDEF是公共角，

∴ΔDEF∽ΔCED． ∴ÐEDF=ÐC．

∵CD∥AP， ∴ÐC=Ð P．

∴ÐP=ÐEDF．

（2）∵ÐP=ÐEDF， ÐDEF=ÐPEA，

∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE : PE=EF : EA．即EF?EP=DE?EA．

∵弦AD、BC相交于點(diǎn)E，∴DE?EA=CE?EB．∴CE?EB=EF?EP．

21B．法一：特殊點(diǎn)法

在直線上任取兩點(diǎn)（2、1）和（3、3），…………1分

則?即得點(diǎn) …………3 分

即得點(diǎn)

將和分別代入上得

則矩陣 …………6 分

則 …………10 分

法二：通法

設(shè)為直線上任意一點(diǎn)其在M的作用下變?yōu)?sub>…………1分

則…………3分

代入得：

其與完全一樣得

則矩陣 …………6分

則 …………10分

21C．法一：將直線方程化為， ………4分

， ………6分

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，M，則， ………8分

又，得； ………10分

法二：以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，

將直線方程化為，………………4分

設(shè)P，M，，………6分

又MPO三點(diǎn)共線，， …………8分

轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程． ………10分

21D．證明： ∵a、b、c均為實(shí)數(shù)．

∴（＋）≥≥，當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立；

（＋）≥≥，當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立；

（＋）≥≥．

三個(gè)不等式相加即得++≥++，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.

22．解：（I）以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．

cos<>．

由于異面直線BE與AC所成的角是銳角，故其余弦值是．

（II），，

設(shè)平面ABE的法向量為，

則由，，得

取n＝（1，2，2），

平面BEC的一個(gè)法向量為n₂＝（0，0，1），

．

由于二面角A－BE－C的平面角是n₁與n₂的夾角的補(bǔ)角，其余弦值是－．

23．解：的所有可能取值有6，2，1，-2；，

，

故的分布列為：

-2

0.63

0.25

0.1

0.02

（2）

（3）設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為，則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為

依題意，，即，解得所以三等品率最多為

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