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練習(xí)冊(cè)

練習(xí)冊(cè)
試題

福建省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2008年4月高三質(zhì)量檢查試卷

數(shù)學(xué)理科 2008.4

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互獨(dú)立，那么P(A?B)=P(A)?P(B)

如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率

第Ⅰ卷（選擇題共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1．已知復(fù)數(shù)z滿足=

A． B． C． D．

2．函數(shù)的圖象

A．關(guān)于x軸對(duì)稱 B．關(guān)于直線對(duì)稱

C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于直線對(duì)稱

3．已知非零向量

A． B．2 C． D．1

4．若互不相等的實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，ca,ab,bc成等比數(shù)列，且

A．－8 B．4 C．－4 D．8

5．在正四面體P―ABC中，D、E、F分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是

A．BC//平面PDF B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC

6．“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

7．已知上的增函數(shù)，那么a的取值范圍是

A．（1，+） B．（－，3） C． D．（1，3）

8．袋中有60個(gè)小球，其中紅色球24個(gè)、藍(lán)色球18個(gè)、白色球12個(gè)、黃色球6個(gè)，從中隨機(jī)抽取10個(gè)球作成一個(gè)樣本，則這個(gè)樣本恰好是按分層抽樣方法得到的概率為

A． B．

C． D．

9．在區(qū)間[－1，3]上的最大值是

A．－2 B．0 C．2 D．

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20080422

A． B． C． D．

11．若多項(xiàng)多

A．509 B．510 C．511 D．1022

12．如圖，M是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線右支上任一點(diǎn)，若點(diǎn)M到點(diǎn)C（3，1）與點(diǎn)B的距離之和為S，則S的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）

二、填空題：本大題共4小題，每題4分，共16分，把答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的橫線上.

13．已知的最小值是 .

14．從依次標(biāo)著數(shù)字0，1，2，3的六張?zhí)柎a牌中不放回地隨機(jī)選取兩張，這兩張?zhí)柎a牌的數(shù)字之和的數(shù)學(xué)期望E= .

15．如圖，A、B、C分別為橢圓的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)，若∠ABC=90°，則該橢圓的離心率為 .

16．對(duì)于函數(shù)定義域中任意的

① ②；

③ ④

當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是 .

三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫(xiě)出相應(yīng)的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

17．（本小題滿分12分）已知函數(shù)

（1）求的定義域；

（2）已知的值.

18．（本小題滿分12分）如圖，P―ABC中，D是AC的中點(diǎn)，PA=PB=PC=

（1）求證：PD⊥平面ABC；

（2）求二面角P―AB―C的大小；

（3）求AB的中點(diǎn)E到平面PBC的距離.

19．（本小題滿分12分）某公司以每噸10萬(wàn)元的價(jià)格銷(xiāo)售某種化工產(chǎn)品，每年可售出該產(chǎn)品1000噸，若將該產(chǎn)品每噸的價(jià)格上漲x%，則每年的銷(xiāo)售數(shù)量將減少mx%，其中m為正常數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，該產(chǎn)品每噸的價(jià)格上漲百分之幾，可使銷(xiāo)售的總金額最大？

（2）如果漲價(jià)能使銷(xiāo)售總金額增加，求m的取值范圍.

20．（本小題滿分12分）已知上不相同的兩個(gè)點(diǎn)，l是弦AB的垂直平分線.

（1）當(dāng)+取何值時(shí)，可使拋物線的焦點(diǎn)F與原點(diǎn)O到直線l的距離相等？證明你的結(jié)論；

（2）當(dāng)直線l的斜充為1時(shí)，求l在y軸上截距的取值范圍.

21．（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為且對(duì)任意正整數(shù)n都有

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（2）設(shè)

22．（本小題滿分14分）已知

（1）若函數(shù)是R上的增函數(shù)，求a的取值范圍；

（2）若的單調(diào)增區(qū)間。

一、選擇題

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20080422

二、填空題

13．2 14．3 15． 16．①③④

三、解答題

17．解：（1）……………………3分

由得

故……………………6分

（2）因?yàn)?sub>

故

………………9分

……………………12分

文本框: 18．方法一：

（1）證明：連結(jié)BD，

∵D分別是AC的中點(diǎn)，PA=PC=

∴PD⊥AC，

∵AC=2，AB=，BC=

∴AB²+BC²=AC²，

∴∠ABC=90°，即AB⊥BC.…………2分

∴BD=，

∵PD²=PA²―AD²=3，PB

∴PD²+BD²=PB²，

∴PD⊥BD，

∵ACBD=D

∴PD⊥平面ABC.…………………………4分

（2）解：取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、PE，由E為AB的中點(diǎn)知DE//BC，

∵AB⊥BC，

∴AB⊥DE，

∵DE是直線PE的底面ABC上的射景

∴PE⊥AB

∴∠PED是二面角P―AB―C的平面角，……………………6分

在△PED中，DE=∠=90°，

∴tan∠PDE=

∴二面角P―AB―C的大小是

（3）解：設(shè)點(diǎn)E到平面PBC的距離為h.

∵V_P―EBC=V_E―PBC，

∴……………………10分

在△PBC中，PB=PC=，BC=

而PD=

∴

∴點(diǎn)E到平面PBC的距離為……………………12分

方法二：

（1）同方法一：

（2）解：解：取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、PE，

過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F，以D為

DP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則D（0，0，0），P（0，0，），

E（），B=（）

設(shè)上平面PAB的一個(gè)法向量，

則由

這時(shí)，……………………6分

顯然，是平面ABC的一個(gè)法向量.

∴

∴二面角P―AB―C的大小是……………………8分

（3）解：

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量，

由

得

令是平面PBC的一個(gè)法向量……………………10分

又

∴點(diǎn)E到平面PBC的距離為………………12分

19．解：（1）由題設(shè)，當(dāng)價(jià)格上漲x%時(shí)，銷(xiāo)售總金額為：

（2）

即……………………3分

當(dāng)

當(dāng)x=50時(shí)，

即該噸產(chǎn)品每噸的價(jià)格上漲50%時(shí)，銷(xiāo)售總最大.……………………6分

（2）由（1）

如果上漲價(jià)格能使銷(xiāo)假售總金額增加，

則有……………………8分

即x>0時(shí)，

∴

注意到m>0

∴ ∴ ∴

∴m的取值范圍是（0，1）…………………………12分

20．解（1）由已知，拋物線，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（0，1）………………1分

當(dāng)l與y軸重合時(shí)，顯然符合條件，此時(shí)……………………3分

當(dāng)l不與y軸重合時(shí)，要使拋物線的焦點(diǎn)F與原點(diǎn)O到直線l的距離相等，當(dāng)且僅當(dāng)直線l通過(guò)點(diǎn)（）設(shè)l的斜率為k，則直線l的方程為

由已知可得即………5分

解得無(wú)意義.

因此，只有時(shí)，拋物線的焦點(diǎn)F與原點(diǎn)O到直線l的距離相等.……7分

（2）由已知可設(shè)直線l的方程為……………………8分

則AB所在直線為……………………9分

代入拋物線方程………………①

∴的中點(diǎn)為

代入直線l的方程得：………………10分

又∵對(duì)于①式有：

解得m>－1，

∴

∴l在y軸上截距的取值范圍為（3，+）……………………12分

21．解：（1）在………………1分

∵

∴

當(dāng)兩式相減得：

即

整理得：……………………3分

∴

當(dāng)時(shí)，，滿足上式，

∴

（2）由（1）知

則………………8分

∴

……………………10分

∴…………………………12分

22．解：（1）…………………………1分

∵是R上的增函數(shù)，故在R上恒成立，

即在R上恒成立，……………………2分

令

…………3分

由

故函數(shù)上單調(diào)遞減，在（－1，1）上單調(diào)遞增，在（1，+）上單調(diào)遞減。…………………………5分

∴當(dāng)

又的最小值………………6分

∴亦是R上的增函數(shù)。

故知a的取值范圍是……………………7分

（2）……………………8分

由

①當(dāng)a=0時(shí)，上單調(diào)遞增；…………10分

可知

②當(dāng)

即函數(shù)在上單調(diào)遞增；………………12分

③當(dāng)時(shí)，有，

即函數(shù)在上單調(diào)遞增�！�14分

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