臺州市2009年高三年級第二次調(diào)考試題
數(shù) 學(xué)（理科） 2009.4
命題：陳傳熙(玉環(huán)縣玉城中學(xué)) 許彪(臺州中學(xué))
審卷：李繼選(臺州一中)
注意：本卷考試時間120分鐘，請考生將所有題目都做在答題卷上．
參考公式：
如果事件
，
互斥，那么
棱柱的體積公式
如果事件，相互獨(dú)立，那么
其中
表示棱柱的底面積，
表示棱柱的高
棱錐的體積公式
在
次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好
發(fā)生
次的概率是
，
其中表示棱錐的底面積，表示棱錐的高
其中
表示在一次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率 棱臺的體積公式
球的表面積公式 
球的體積公式 
其中
分別表示棱臺的上底、下底面積，
其中
表示球的半徑
表示棱臺的高
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．若集合
，
，則集合
不可能是
（A）
（B）
（C）
（D）
2．在
的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為
（A）－28 （B）－70 （C）70 （D）28
3．已知兩條不同的直線
，
與三個不同的平面
，
，
，滿足
， 
，
，
，那么必有
（A）
，
（B），
（C）， （D）
，
4．在等比數(shù)列
中，
，
，
，則
（A）16 （B）27 （C）36 （D）81
5．已知
均為實(shí)數(shù)，則“
”是“關(guān)于
一元二次不等式
的解集為”的
（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件
（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件
6．在一張矩形紙片上，畫有一個圓（圓心為O）和一個定點(diǎn)F（F在圓外）．在圓上任取一點(diǎn)M，將紙片折疊使M與點(diǎn)F重合，得到折痕CD．設(shè)直線CD與直線OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡為
（A）雙曲線 （B）橢圓 （C）圓 （D）拋物線
7．若對
，
，使
≤
成立，則
（A）
（B）
（C）
（D）
8．如圖，一個空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖都是面積為，且一個內(nèi)角為
的菱形，俯視圖為正方形，那么這個幾何體的表面積為
（A）
（B）
（C）4
（D）8
9．將三個分別標(biāo)有A，B，C的小球隨機(jī)地放入編號分別為1，2，3，4的四個盒子中，則第1號盒子內(nèi)有球的不同放法的總數(shù)為
（A）27 （B）37 （C）64 （D）81
10．已知向量
，
，
滿足
，
，
?
．若對每一確定的,
的最大值和最小值分別為, 
, 則對任意,
的最小值是
（A）
（B） （C）
（D）1
二．填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分．
11．已知復(fù)數(shù)
，則
▲ ．
12．某路段屬于限速路段，規(guī)定通過該路段的汽車時速不得超過
，否則視為違規(guī)扣分．某天，有1000輛汽車經(jīng)過了該路段，經(jīng)過雷達(dá)測速得到這些汽車運(yùn)行時速的頻率分布直方圖如圖所示，則違規(guī)扣分的汽車大約為 ▲
輛．
13．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為
，且過點(diǎn)
和
的直線的斜率是4，若
，則
▲ ．
14．某個缺水地區(qū)為了提倡居民節(jié)約用水和控制用水浪費(fèi)現(xiàn)象，實(shí)行了水費(fèi)的分段計(jì)價，其計(jì)價的流程如圖所示．其中輸入為居民每月的用水量（單位：噸），輸出為相應(yīng)的水費(fèi)（單位：元）．已知某戶居民某月用水量為
噸，則該戶居民用水超過20噸的部分應(yīng)繳納的水費(fèi)為 ▲
．
15．已知向量
，
，其中
為連續(xù)兩次投擲骰子得到的點(diǎn)數(shù)，則
的夾角能成為直角三角形的內(nèi)角的概率是 ▲
．
16．若
是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)
時，
；當(dāng)
時，
．則函數(shù)
的零點(diǎn)有 ▲ 個．
17．已知點(diǎn)
，如果直線
經(jīng)過點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是 ▲
．
三．解答題：本大題共5小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
18．（本小題滿分14分）
已知函數(shù)
．
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）已知
，且
，求的值．
19．（本小題滿分14分）
一袋子中有大小、質(zhì)量均相同的10個小球，其中標(biāo)記“開”字的小球有5個，標(biāo)記“心”字的小球有3個，標(biāo)記“樂”字的小球有2個．從中任意摸出1個球確定標(biāo)記后放回袋中，再從中任取1個球．不斷重復(fù)以上操作，最多取3次，并規(guī)定若取出“樂”字球，則停止摸球．求：
（Ⅰ）恰好摸到2個“心”字球的概率；
（Ⅱ）摸球次數(shù)
的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．
20．（本小題滿分14分）
如圖，在三棱柱
中，
，頂點(diǎn)
在
底面
上的射影恰為B點(diǎn)，且
．
（Ⅰ）分別求出
與底面，棱BC所成的角；
（Ⅱ）在棱
上確定一點(diǎn)P，使
，并求出
二面角
的平面角的余弦值．
21．（本小題滿分15分）
已知橢圓
的離心率為，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為1．
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）若直線
與橢圓
交于
兩點(diǎn)，且
（
為坐標(biāo)原點(diǎn)），
于
點(diǎn)．試求點(diǎn)的軌跡方程．
22．（本小題滿分15分）
已知函數(shù)
，
，其中無理數(shù)
．
（Ⅰ）若
，求證：
；
（Ⅱ）若在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求
的取值范圍；
（Ⅲ）對于區(qū)間（1，2）中的任意常數(shù)，是否存在
使
成立？若
存在，求出符合條件的一個
；否則，說明理由．
數(shù) 學(xué)（理科） 2009.4
一、選擇題：本大題共有10小題，每小題5分，共50分．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
B
B
A
C
C
B
B
二、填空題：本大題共有7小題，每小題4分，共28分．
11．
－1 12． 110 13． 78 14．
15．
16． 7 17．
三．解答題：本大題共5小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
18．（Ⅰ）解：
．……………………… 4分
由
，解得 
．
所以函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間為 
．…………… 7分
（Ⅱ）解：由
，得
．故
．……………… 10分
于是有 
，或
，
即
或
．因
，故
．……………… 14分
19．（Ⅰ）解：恰好摸到兩個“心”字球的取法共有4種情形：
開心心，心開心，心心開，心心樂．
則恰好摸到2個“心”字球的概率是
．………………………………………6分
（Ⅱ）解：
，
則 
，
，
．…………………………………………10分
故取球次數(shù)
的分布列為
1
2
3
．…………………………………………………14分
20．（Ⅰ）解：因
在底面
上的射影恰為B點(diǎn)，則
⊥底面．
所以
就是
與底面所成的角．
因
，故 
，
即與底面所成的角是
．……………………………………………3分
如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則
，
，
．
則
，
故與棱BC所成的角是
．…………………………………………………7分
（Ⅱ）解：設(shè)
，則
．于是
（
舍去），
則P為棱
的中點(diǎn)，其坐標(biāo)為
．…………………………………………9分
設(shè)平面
的法向量為
，則
，故
．…………………11分
而平面
的法向量是
，
則
，
故二面角的平面角的余弦值是
．………………………………14分
21．（Ⅰ）解：由題意知：
，
，
，解得
．
故橢圓的方程為
．…………………………………………………5分
（Ⅱ）解：設(shè)
，
⑴若
軸，可設(shè)
，因
，則
．
由
，得
，即
．
若
軸，可設(shè)
，同理可得
．……………………7分
⑵當(dāng)直線
的斜率存在且不為0時，設(shè)
，
由
，消去
得：
．
則
．………………………………………9分
．
由，知
．
故 
，即
（記為①）．…………11分
由
，可知直線
的方程為
．
聯(lián)立方程組
，得 
（記為②）．……………………13分
將②代入①，化簡得
．
綜合⑴、⑵，可知點(diǎn)
的軌跡方程為.………………………15分
22．（Ⅰ）證明：當(dāng)
時，
．令
，則
．
若
，
遞增；若
，遞減，
則
是的極（最）大值點(diǎn)．于是
，即
．故當(dāng)時，有
．………5分
（Ⅱ）解：對
求導(dǎo)，得
．
①若，
，則在
上單調(diào)遞減，故合題意．
②若
，
．
則必須
，故當(dāng)
時，在上單調(diào)遞增．
③若
，
的對稱軸
，則必須
，
故當(dāng)時，在上單調(diào)遞減．
綜合上述，
的取值范圍是
．………………………………10分
（Ⅲ）解：令
．則問題等價于
找一個
使
成立，故只需滿足函數(shù)的最小值
即可．
因
，
而
，
故當(dāng)
時，
，
遞減；當(dāng)
時，
，遞增．
于是，
．
與上述要求相矛盾，故不存在符合條件的
．……………………15分
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