Question

【題目】如圖，△ABC中，BA＝BC，CO⊥AB于點(diǎn)O，AO＝4，BO＝6．

（1）求BC，AC的長(zhǎng)；

（2）若點(diǎn)D是射線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作DE⊥AC于點(diǎn)E，連結(jié)OE．

①當(dāng)點(diǎn)D在線段OB上時(shí)，若△AOE是以AO為腰的等腰三角形，請(qǐng)求出所有符合條件的OD的長(zhǎng)．

②設(shè)DE交直線BC于點(diǎn)F，連結(jié)OF，CD，若S△OBF：S△OCF＝1：4，則CD的長(zhǎng)為　 　（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）或8．

【解析】

根據(jù)BA＝BC，分別用勾股定理求出CO和AC的長(zhǎng).

①分情況AO＝OE和AO＝AE，畫出圖形，根據(jù)三角形中位線定理和證明三角形全等解決問(wèn)題.

②分情況

i）當(dāng)D在線段OB上時(shí)，如圖3，過(guò)B作BG⊥EF于G，根據(jù)同高三角形面積比等于底邊之比，得到，再根據(jù)平行線性質(zhì)∠BDG＝∠BFG，得到BD＝BF＝，最后使用勾股定理求出結(jié)論

ii）當(dāng)D在線段OB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖4，過(guò)B作BG⊥DE于G，同理計(jì)算可得結(jié)論.

解：（1）∵AO＝4，BO＝6，

∴AB＝10，

∵BA＝BC，

∴BC＝10，

∵CO⊥AB，

∴∠AOC＝∠BOC＝90°，

由勾股定理得：CO＝＝＝8，

AC＝＝＝4；

（2）①分兩種情況：

i）如圖1，當(dāng)AO＝OE＝4時(shí)，過(guò)O作ON⊥AC于N，

∴AN＝EN，

∵DE⊥AC，

∴ON∥DE，

∴AO＝OD＝4；

ii）當(dāng)AO＝AE＝4時(shí)，如圖2，

在△CAO和△DAE中，

，

∴△CAO≌△DAE（AAS），

∴AD＝AC＝4，

∴OD＝4﹣4；

②分兩種情況：

i）當(dāng)D在線段OB上時(shí)，如圖3，過(guò)B作BG⊥EF于G，

∵S△OBF：S△OCF＝1：4，

∴

∴

∵CB＝10

∴BF＝

∵EF⊥AC，

∴BG∥AC，

∴∠GBF＝∠ACB，

∵AE∥BG，

∴∠A＝∠DBG，

∵AB＝BC，

∴∠A＝∠ACB，

∴∠DBG＝∠GBF，

∵∠DGB＝∠FGB，

∴∠BDG＝∠BFG，

∴BD＝BF＝，

∴OD＝OB﹣BD＝6﹣＝，

∴CD＝＝＝；

ii）當(dāng)D在線段OB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖4，過(guò)B作BG⊥DE于G，

同理得，

∵BC＝10，

∴BF＝2，

同理得：∠BFG＝∠BDF，

∴BD＝BF＝2，

Rt△COD中，CD＝＝＝8，

綜上，CD的長(zhǎng)為或8．

故答案為：或8．