Question

已知函數(shù)
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若時(shí)，關(guān)于的方程有唯一解，求的值；
（3）當(dāng)時(shí)，證明: 對(duì)一切，都有成立．

Answer 1

（1）當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)， f(x)在(0,+)上是增函數(shù);     
當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，f (x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．
（2）
（3）當(dāng)時(shí)， 問(wèn)題等價(jià)于證明
由導(dǎo)數(shù)可求的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，
設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求解。

解析試題分析：（1）由已知得x＞0且．
當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，，則f(x)在(0,+)上是增函數(shù);     
當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，則．　  
所以當(dāng)x時(shí)，，當(dāng)x時(shí)，．
故當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，f (x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．…………4分
（2）若，則．
記 ,
若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；   令,得．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/39/b/oewip.png" style="vertical-align:middle;" />，所以（舍去），． 當(dāng)時(shí)，，在是單調(diào)遞減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，在上是單調(diào)遞增函數(shù)．
當(dāng)x=x₂時(shí), ，．   因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/aa/5/1wqur2.png" style="vertical-align:middle;" />有唯一解，所以．
則 即  設(shè)函數(shù)，
因?yàn)樵趚>0時(shí)，h (x)是增函數(shù)，所以h (x) = 0至多有一解．
因?yàn)閔 (1) = 0，所以方程(*)的解為x ₂ = 1，從而解得…………10分
另解:即有唯一解,所以:,令,則,設(shè)，顯然是增函數(shù)且，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是時(shí)有唯一的最小值，所以，綜上：．
（3）當(dāng)時(shí)， 問(wèn)題等價(jià)于證明
由導(dǎo)數(shù)可求的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，
設(shè)，則，
易得，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取到，
從而對(duì)一切，都有成立．故命題成立．…………16分
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，不等式恒成立問(wèn)題。
點(diǎn)評(píng)：難題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，不等式恒成立問(wèn)題，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的常見(jiàn)問(wèn)題，本題因?yàn)閰��?shù)的引入，增大了討論的難度，學(xué)生易出錯(cuò)。不等式恒成立問(wèn)題，往往通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的最值，使問(wèn)題得解。