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        1. 導(dǎo)數(shù)與積分080626

          一、考題選析:

          例1、(07海南) 曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為( 。

          試題詳情

          A、              B、          C、             D、

          試題詳情

          例2、(07全國Ⅰ20) 設(shè)函數(shù)

          試題詳情

          (Ⅰ)證明:的導(dǎo)數(shù);

          試題詳情

          (Ⅱ)若對所有都有,求的取值范圍。

          試題詳情

          例3、(05全國Ⅱ22) 已知,函數(shù)

          試題詳情

          (Ⅰ)當(dāng)為何值時,取得最小值?證明你的結(jié)論;

          試題詳情

          (Ⅱ)設(shè)在[,1]上是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍。

          試題詳情

          ;()

          (一)選擇題:

          試題詳情

          二、考題精練:

          1、(07浙江)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),將的圖象畫在同一個直角坐標(biāo)系中,不可能正確的是(    )

          試題詳情

           

           

           

           

           

           

           

           

          試題詳情

          2、(07江西)設(shè)函數(shù)上以5為周期的可導(dǎo)偶函數(shù),則曲線處的切線的斜率為( 。

          試題詳情

          A、               B、                  C、                 D、

          試題詳情

          3、(07陜西)是定義在上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),且滿足.對任意正數(shù),若,則必有(    )

          試題詳情

          A、                   B、

          試題詳情

          C、                    D、

          試題詳情

          4、(06北京)在下列四個函數(shù)中,滿足性質(zhì):“對于區(qū)間(1,2)上的任意,( ).

          試題詳情

          恒成立”的只有(   )

          試題詳情

          A、        B、        C、        D、

          試題詳情

          5、(06安徽)若曲線的一條切線與直線垂直,則的方程為(   )

          試題詳情

           A、    B、    C、    D、

          (二)填空題:

          試題詳情

          6、(06湖南)曲線在它們的交點(diǎn)處的兩條切線與軸所圍成的三角形的面積是___________;

          試題詳情

          7、(05北京)過原點(diǎn)作曲線的切線,則切點(diǎn)的坐標(biāo)為           ,切線的斜率

          試題詳情

                 

          (三)解答題:

          試題詳情

          8、(06北京)已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值5,其導(dǎo)函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0),(2,0),如圖所示,求: (Ⅰ)的值; (Ⅱ)的值.                      

           

           

           

           

          試題詳情

          9、(06安徽20)已知函數(shù)上有定義,對任何實(shí)數(shù)和任何實(shí)數(shù),都有。(Ⅰ)證明;(Ⅱ)證明  其中均為常數(shù);(Ⅲ)當(dāng)(Ⅱ)中的時,設(shè),討論內(nèi)的單調(diào)性并求極值。

          試題詳情

          證明(Ⅰ)令,則,∵,∴。

          試題詳情

          (Ⅱ)①令,∵,∴,則。

          試題詳情

          假設(shè)時,,則,而,∴,即成立。

          試題詳情

          ②令,∵,∴

          試題詳情

          假設(shè)時,,則,而,∴,即成立!成立。

          試題詳情

          (Ⅲ)當(dāng)時,,

          試題詳情

          ,得;

          試題詳情

          當(dāng)時,,∴是單調(diào)遞減函數(shù);

          試題詳情

          當(dāng)時,,∴是單調(diào)遞增函數(shù);

          試題詳情

          所以當(dāng)時,函數(shù)內(nèi)取得極小值,極小值為

           

           

           

          導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用080626

          試題詳情

          一、考題選析:

          例1、(07山東22)設(shè)函數(shù),其中

          試題詳情

          (Ⅰ)當(dāng)時,判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性;

          試題詳情

          (Ⅱ)求函數(shù)的極值點(diǎn);

          試題詳情

          (Ⅲ)證明對任意的正整數(shù),不等式都成立.

          試題詳情

          解:(Ⅰ)由題意知,的定義域?yàn)?sub>,

          試題詳情

          設(shè),其圖象的對稱軸為

          試題詳情

          試題詳情

          當(dāng)時,,

          試題詳情

          上恒成立,

          試題詳情

          當(dāng)時,

          試題詳情

          當(dāng)時,函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增.

          試題詳情

          (Ⅱ)①由(Ⅰ)得,當(dāng)時,函數(shù)無極值點(diǎn).

          試題詳情

          時,有兩個相同的解,

          試題詳情

          時,,

          試題詳情

          時,

          試題詳情

          時,函數(shù)上無極值點(diǎn).

          試題詳情

          ③當(dāng)時,有兩個不同解,,

          試題詳情

          時,,

          試題詳情

          試題詳情

          時,,的變化情況如下表:

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          極小值

          試題詳情

          試題詳情

          由此表可知:時,有惟一極小值點(diǎn),

          試題詳情

          當(dāng)時,,

          試題詳情

          ,

          試題詳情

          此時,的變化情況如下表:

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          極大值

          試題詳情

          極小值

          試題詳情

          試題詳情

          由此表可知:時,有一個極大值和一個極小值點(diǎn);

          綜上所述:

          試題詳情

          時,有惟一最小值點(diǎn);

          試題詳情

          時,有一個極大值點(diǎn)和一個極小值點(diǎn);

          試題詳情

          時,無極值點(diǎn).

          試題詳情

          (Ⅲ)當(dāng)時,函數(shù),

          試題詳情

          令函數(shù),

          試題詳情

          試題詳情

          當(dāng)時,,所以函數(shù)上單調(diào)遞增,

          試題詳情

          試題詳情

          時,恒有,即恒成立.

          試題詳情

          故當(dāng)時,有

          試題詳情

          對任意正整數(shù),則有

          所以結(jié)論成立.

          試題詳情

          例2、(06全國Ⅰ21)已知函數(shù)。(Ⅰ)設(shè),討論的單調(diào)性;(Ⅱ)若對任意恒有,求的取值范圍。

          解(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)?-∞,1)∪(1,+∞).對f(x)求導(dǎo)數(shù)得 f '(x)= e-ax.  

          (?)當(dāng)a=2時, f '(x)= e-2x, f '(x)在(-∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(-∞,1), (1,+∞).為增函數(shù).

          (?)當(dāng)0<a<2時, f '(x)>0, f(x)在(-∞,1), (1,+∞)為增函數(shù).

          (?)當(dāng)a>2時, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x1= - , x2= .

          當(dāng)x變化時, f '(x)和f(x)的變化情況如下表:

          x

          (-∞, -)

          (-,)

          (,1)

          (1,+∞)

          f '(x)

          f(x)

          f(x)在(-∞, -), (,1), (1,+∞)為增函數(shù), f(x)在(-,)為減函數(shù).

          試題詳情

          (Ⅱ)(?)當(dāng)0<a≤2時, 由(Ⅰ)知: 對任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1.

          (?)當(dāng)a>2時, 取x0= ∈(0,1),則由(Ⅰ)知 f(x0)<f(0)=1

          (?)當(dāng)a≤0時, 對任意x∈(0,1),恒有 >1且eax≥1,得

          試題詳情

          f(x)= eax≥ >1. 綜上當(dāng)且僅當(dāng)a∈(-∞,2]時,對任意x∈(0,1)恒有f(x)>1。

          試題詳情

          例3、(06天津20)已知函數(shù),其中為參數(shù),且.(1)當(dāng)時,判斷函數(shù)是否有極值;(2)要使函數(shù)的極小值大于零,求參數(shù)的取值范圍;(3)若對(2)中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù),函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍。

          試題詳情

          (Ⅰ)當(dāng)時,,則內(nèi)是增函數(shù),故無極值 

          試題詳情

          (Ⅱ),令,得

          試題詳情

          由(Ⅰ),只需分下面兩種情況討論 

          試題詳情

          ①當(dāng)時,隨x的變化的符號及的變化情況如下表:

          x

          試題詳情

          0

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          +

          0

          -

          0

          +

          試題詳情

          極大值

           

          極小值

          試題詳情

          因此,函數(shù)處取得極小值,

          試題詳情

           

          試題詳情

          要使,必有,可得

          試題詳情

          由于,故 

          試題詳情

          ②當(dāng)時,隨x的變化,的符號及的變化情況如下表:

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          試題詳情

          +

          0

          -

          0

          +

          試題詳情

          試題詳情

          極大值

          試題詳情

          極小值

          試題詳情

          試題詳情

          因此,函數(shù)處取得極小值,且

          試題詳情

          ,則。矛盾。所以當(dāng)時,的極小值不會大于零 

          試題詳情

          故參數(shù)的取值范圍為 

          試題詳情

          (III)由(II)知,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù) 

          試題詳情

          由題設(shè),函數(shù)內(nèi)是增函數(shù),則a須滿足不等式組

          試題詳情

           或  

          試題詳情

          由(II),參數(shù)時時,

          試題詳情

          要使不等式關(guān)于參數(shù)恒成立,

          試題詳情

          必有,即

          試題詳情

          解得  

          試題詳情

          所以的取值范圍是  

           

          試題詳情

          例4、(04福建16)如圖1,將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形,再沿虛線折起,做成一個無蓋的正六棱柱容器.當(dāng)這個正六棱柱容器的底面邊長為         時,其容積最大。

          (一)選擇題:

          試題詳情

          二、考題精練:

          1、(06天津)函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間,導(dǎo)函數(shù)內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)(    )

          A、1個          B、2個

          C、3個          D、4個

          試題詳情

          2、(06江西)對于上可導(dǎo)的任意函數(shù),若滿足,則必有(   )

          試題詳情

          A、     B、

          試題詳情

          C、    D、

          (二)填空題:

          試題詳情

          3、(07江蘇)已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為,則_____;

          試題詳情

          4、(05重慶)曲線處的切線與x軸、直線所圍成的三角形的面積為=             。

          (三)解答題:

          試題詳情

          5、(07海南21)設(shè)函數(shù)

          試題詳情

          (I)若當(dāng)時,取得極值,求的值,并討論的單調(diào)性;

          試題詳情

          (II)若存在極值,求的取值范圍,并證明所有極值之和大于

          解:

          試題詳情

          (Ⅰ)

          試題詳情

          依題意有,故

          試題詳情

          從而

          試題詳情

          的定義域?yàn)?sub>,當(dāng)時,

          試題詳情

          當(dāng)時,

          試題詳情

          當(dāng)時,

          試題詳情

          從而,分別在區(qū)間單調(diào)增加,在區(qū)間單調(diào)減少.

          試題詳情

          (Ⅱ)的定義域?yàn)?sub>,

          試題詳情

          方程的判別式

          試題詳情

          (?)若,即,在的定義域內(nèi),故的極值.

          試題詳情

          (?)若,則

          試題詳情

          ,

          試題詳情

          當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以無極值.

          試題詳情

          ,,也無極值.

          試題詳情

          (?)若,即,則有兩個不同的實(shí)根,

          試題詳情

          當(dāng)時,,從而的定義域內(nèi)沒有零點(diǎn),故無極值.

          試題詳情

          當(dāng)時,,,的定義域內(nèi)有兩個不同的零點(diǎn),由根值判別方法知取得極值.

          試題詳情

          綜上,存在極值時,的取值范圍為

          試題詳情

          的極值之和為

          試題詳情

          試題詳情

          6、(07福建22)已知函數(shù)

          試題詳情

          (Ⅰ)若,試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

          試題詳情

          (Ⅱ)若,且對于任意,恒成立,試確定實(shí)數(shù)的取值范圍;

          試題詳情

          (Ⅲ)設(shè)函數(shù),求證:。

          本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基本知識,考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法,考查分類討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法,考查分析問題、解決問題的能力.滿分14分.

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          解:(Ⅰ)由,所以

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                 由,故的單調(diào)遞增區(qū)間是,

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                 由,故的單調(diào)遞減區(qū)間是

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                 (Ⅱ)由可知是偶函數(shù).

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                 于是對任意成立等價于對任意成立.

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                 由

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                 ①當(dāng)時,

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                 此時上單調(diào)遞增.

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                 故,符合題意.

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                 ②當(dāng)時,

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                 當(dāng)變化時的變化情況如下表:

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          單調(diào)遞減

          極小值

          單調(diào)遞增

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          由此可得,在上,

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          依題意,,又

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          綜合①,②得,實(shí)數(shù)的取值范圍是

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          (Ⅲ),

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          ,

          試題詳情

          ,

          試題詳情

           

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          由此得,

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          7、(07湖北20)已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù),,其中.設(shè)兩曲線,有公共點(diǎn),且在該點(diǎn)處的切線相同.

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          (I)用表示,并求的最大值;

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          (II)求證:).

          分析:本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識,考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.

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          解:(Ⅰ)設(shè)在公共點(diǎn)處的切線相同.

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          ,,由題意,

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          得:,或(舍去).

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          即有

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          ,則.于是

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          當(dāng),即時,;

          試題詳情

          當(dāng),即時,

          試題詳情

          為增函數(shù),在為減函數(shù),

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          于是的最大值為

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          (Ⅱ)設(shè),

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          試題詳情

          為減函數(shù),在為增函數(shù),

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          于是函數(shù)上的最小值是

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          故當(dāng)時,有,即當(dāng)時,

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          8、(05湖北)已知向量在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù),求的取值范圍。

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          9、(05江蘇22)已知函數(shù)(Ⅰ)當(dāng)時,求使成立的的集合;(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間[1,2]上的最小值。

          [分析]:本題是一道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合運(yùn)用問題,第一問對x進(jìn)行討論,得出方程,進(jìn)而求出x的值;第二問對a進(jìn)行討論,結(jié)合函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)值判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,進(jìn)而求出函數(shù)的最小值.

          [解答]:

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             (Ⅰ)由題意,f(x)=x2

          當(dāng)x<2時,f(x)=x2(2-x)=x,解得x=0,或x=1;

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          當(dāng)x

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          綜上所述,所求解集為.

          (Ⅱ)設(shè)此最小值為m.

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          ①當(dāng)

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                      因?yàn)?

                      則f(x)是區(qū)間[1,2]上的增函數(shù),所以m=f(1)=1-a..

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          ②當(dāng)1<a.

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          ③當(dāng)a>2時,在區(qū)間[1,2]上,

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          試題詳情

                       若在區(qū)間(1,2)內(nèi)f/(x)>0,從而f(x)為區(qū)間[1,2]上的增函數(shù),

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                       由此得:m=f(1)=a-1.

          試題詳情

                       若2<a<3,則

          試題詳情

                       當(dāng)

          試題詳情

                       當(dāng)

                       因此,當(dāng)2<a<3時,m=f(1)=a-1或m=f(2)=4(a-2).

          試題詳情

                       當(dāng);

          試題詳情

                       當(dāng)

          試題詳情

                       綜上所述,所求函數(shù)的最小值

            [評析]:本題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法,同時考查了分類討論轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想,以及相關(guān)分析推理、計算等方面的能力。

           

           

           

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