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1.函數(shù)y=x³+x的單調(diào)增區(qū)間為(   )

A.(-∞,+∞)                   B.(0,+∞)

C.(-∞,0)                     D.不存在

分析 本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

解 ∵y′=3x²+1>0恒成立，

∴y=x³+x在(-∞,+∞)上為增函數(shù)，沒有減區(qū)間

答案 A

2.若函數(shù)f(x)=x²+bx+c的圖象的頂點在第四象限,則函數(shù)f′(x)的圖象是（   ）

分析 本題主要考查二次函數(shù)及導數(shù)的基礎(chǔ)知識.

解 利用導數(shù)公式求出導函數(shù),從而確定圖象.

∵f(x)=x²+bx+c的圖象的頂點在第四象限,

∴->0,即b<0.

∵f′(x)=2x+b(b<0),∴圖象A為所求.

答案 A

3.★右圖是函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)y=f′(x)的圖象,則下面判斷正確的是 （   ）

A.在區(qū)間(-2,1)內(nèi)f(x)是增函數(shù)

B.在(1,3)內(nèi)f(x)是減函數(shù)

C.在(4,5)內(nèi)f(x)是增函數(shù)

D.在x=2時f(x)取到極小值

分析 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值與導函數(shù)的關(guān)系.

解 在(-2,1)上,導函數(shù)的符號有正有負,所以函數(shù)f(x)在這個區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù);同理,函數(shù)在(1,3)上也不是單調(diào)函數(shù).在x=2的左側(cè),函數(shù)在(-,2)上是增函數(shù),在x=2的右側(cè),函數(shù)在(2,4)上是減函數(shù),所以在x=2時,f(x)取到極大值;在(4,5)上導數(shù)的符號為正,所以函數(shù)在這個區(qū)間上為增函數(shù).

答案 C

4.下列說法正確的是（  ）

A.函數(shù)在閉區(qū)間上的極大值一定比極小值大

B.函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值一定是極大值

C.對于f(x)=x³+px²+2x+1,若|p|<,則f(x)無極值

D.函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上一定存在最值

分析 本題主要考查函數(shù)的最值與極值的關(guān)系,加深對最值與極值概念的理解.

解 函數(shù)在閉區(qū)間上的極大值與極小值的大小關(guān)系不確定;最大值并不一定是極大值,最大值有可能在區(qū)間端點處取得;函數(shù)在開區(qū)間上不一定存在最值;對C選項,f′(x)=3x²+2px+2,其中Δ=4p²-24=4(p²-6),當|p|<時,Δ<0,所以方程f′(x)=0無實根,即不存在導數(shù)為零的點.所以函數(shù)f(x)無極值.

答案 C

5.若函數(shù)f(x)=x³-ax²+1在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是(    )

A.a≥3         B.a=2           C.a≤3             D.0<a<3

分析 本題主要考查導數(shù)的應用.利用函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的圖象確定參數(shù)的范圍.

解 f′(x)=3x²-2ax=3x(x-a),由f(x)在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，得3x(x-a)≤0,即a≥2,

∴a≥3.

答案A

6.★若f(x)=ax³+bx²+cx+d(a>0)在R上是增函數(shù),則(    )

A.b²-4ac>0                B.b>0,c>0

C.b=0,c>0                D.b²-3ac<0

分析 本題考查導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系.

解 f′(x)=3ax²+2bx+c.

要使函數(shù)f(x)=ax³+bx²+cx+d(a>0)在R上是增函數(shù),

只需f′(x)>0,即3ax²+2bx+c>0(a>0)對任意x∈R恒成立,

只需(2b)²-4×3ac<0,整理得b²-3ac<0.

答案 D

7.已知函數(shù)f(x)=ax³+(2a-1)x²+2,若x=-1是y=f(x)的一個極值點,則a的值為(   )

A.2            B.-2            C.          D.4

分析 某點的導數(shù)為零是該點為極值點的必要不充分條件.

解 f′(x)=3ax²+2(2a-1)x.

∵x=-1是y=f(x)的一個極值點,

∴3a×(-1)²+2(2a-1)×(-1)=0.

∴a=2.

答案 A

8.在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)，函數(shù)y=e^x-x是(    )

A.增函數(shù)           B.減函數(shù)           C.先增后減           D.先減后增

分析 本題考查利用求導的方法求函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性.

解 ∵y′=e^x-1,又x∈(0,+∞),

∴e^x>1.∴e^x-1>0.∴y′>0.

答案 A

9.函數(shù)y=f(x)=lnx-x在區(qū)間(0,e］上的最大值為(    )

A.1-e        B.-1          C.-e         D.0

分析 本題考查利用求導的方法求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值.

解 y′=-1,令y′=0,即x=1,在（0，e］上列表如下：

x

(0,1)

1

(1,e)

e

y′

+

0

-

y

增函數(shù)

極大值－１

減函數(shù)

１－e

由于f(e)=1-e,而-1＞1-e,從而y_最大=f(1)=-1.

答案 B

10.函數(shù)y=x⁵-x³-2x，則下列判斷正確的是(   )

A.在區(qū)間（-1，1）內(nèi)函數(shù)為增函數(shù)

B.在區(qū)間（-∞,-1)內(nèi)函數(shù)為減函數(shù)

C.在區(qū)間(-∞,1)內(nèi)函數(shù)為減函數(shù)

D.在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)函數(shù)為增函數(shù)

分析 本題考查利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法以及一元高次不等式的解法.

解 y′=5x⁴-3x²-2=(5x²+2)(x²-1)

=(5x²+2)(x+1)(x-1).

∵5x²+2>0恒成立,

∴當x∈(-1,1)時，y′<0,則f(x)為減函數(shù);

當x∈(-∞,-1)或x∈(1,+∞)時 ，y′>0,則f(x)為增函數(shù).故選D.

答案 D

第Ⅱ卷(非選擇題共60分)

11.函數(shù)f(x)=x³-3x²+7的極大值是        .

分析 本題考查利用求導的方法求函數(shù)的極值.

解 f′(x)=3x²-6x.

令f′(x)=0,得x=0或x=2.

作出函數(shù)f′(x)=3x²-6x的圖象.

因為當x∈(-∞,0)時，f(x)是增函數(shù)；當x∈(0,2)時，f(x)是減函數(shù),

所以函數(shù)在x=0處有極大值f(0)=7.

答案 7

12.函數(shù)y=4x₂+的單調(diào)增區(qū)間為　　　　　　.

分析 本題考查利用求導的方法求比較復雜的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.對于非常規(guī)函數(shù),求導不失為一種好方法.

解 y′=8x-.要求增區(qū)間,只需y′>0,即8x->0.

解得x>.

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(,+∞).

答案 (,+∞)

13.函數(shù)y=3x²-2lnx的單調(diào)減區(qū)間為        .

分析 本題考查常見函數(shù)的導數(shù)及導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系.

解 y′=6x-.

∵6x-<0<0x(3x²-1)<0

x<-或0<x<.

又∵x>0,∴0<x<,

即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(0,).

答案 (0,)

14.函數(shù)y=x⁴-8x²+2在［-1，3］上的最大值為          .

分析 本題考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值.

解法一 在y=(x²-4)²-14中把x²視為一個整體.

∵-1≤x≤3,

∴0≤x²≤9.

∴y_最大=(9-4)²-14=11.

解法二 y′=4x³-16x,令y′=0,

即4x³-16x=0.

解得x=0或x=±2,列表如下：

x

(-1,0)

0

(0,2)

2

(2,3)

y′

+

0

-

0

+

y

增函數(shù)

極大值２

減函數(shù)

極小值－１４

增函數(shù)

又∵f(-1)=-5,f(3)=11,故函數(shù)在區(qū)間［-1，3］上的最大值為11.

答案　11

15.(本小題滿分8分)已知函數(shù)y=ax與y=-在區(qū)間（0，+∞)上都是減函數(shù)，試確定函數(shù)y=ax³+bx²+5的單調(diào)區(qū)間.

分析 本題主要考查利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.可先由函數(shù)y=ax與y=-的單調(diào)性確定a、b的取值范圍，再根據(jù)a、b的取值范圍去確定函數(shù)y=ax³+bx²+5的單調(diào)區(qū)間.

解 ∵函數(shù)y=ax與y=-在區(qū)間（0，+∞)上是減函數(shù)，

∴a<0,b<0.                   2分

由y=ax³+bx²+5,得y′=3ax²+2bx.

令y′>0，即3ax²+2bx>0,∴<x<0.

因此當x∈(,0)時，函數(shù)為增函數(shù);      4分

令y′<0,即3ax²+2bx<0,

∴x<或x>0.                         6分

因此當x∈(-∞,)時，函數(shù)為減函數(shù);

x∈(0,+∞)時，函數(shù)也為減函數(shù).          ?8分

16.★(本小題滿分8分)當室內(nèi)的有毒細菌開始增加時,就要使用殺菌劑.剛開始使用的時候,細菌數(shù)量還會繼續(xù)增加,隨著時間的增加,它增加幅度逐漸變小,到一定時間,細菌數(shù)量開始減少.如果使用殺菌劑t小時后的細菌數(shù)量為b(t)=10⁵+10⁴t-10³t².

(1)求細菌在t=5與t=10時的瞬時速度;

(2)細菌在哪段時間增加,在哪段時間減少?為什么?

分析 本題考查導數(shù)的幾何意義及利用導數(shù)知識解決實際問題的能力.

解 (1)b′(t)=-2 000t+10 000,                       2分

b′(t)|_t=5=-2 000×5+10 000=0,

b′(t)|_t=10=-2 000×10+10 000=-10 000,

即細菌在t=5與t=10時的瞬時速度分別為0和-10 000.   4分

(2)由-2 000t+10 000>0,得t<5,

由-2 000t+10 000<0,得t>5,                            6分

即細菌在t∈(0,5)時間段數(shù)量增加,在t∈(5,+∞)時間段數(shù)量減少.       8分

17(本小題滿分8分)已知a為實數(shù),f(x)=(x²-4)(x-a).

(1)求導數(shù)f′(x);

(2)若f′(-1)=0,求f(x)在［-2,2］上的最大值和最小值.

分析 本題主要考查函數(shù)、導數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識,考查分析推理和知識的綜合應用能力.求函數(shù)在閉區(qū)間的最值,只需比較導數(shù)為零的點與區(qū)間端點處的函數(shù)值的大小即可.

解 (1)由原式得f(x)=x³-ax²-4x+4a,

∴f′(x)=3x²-2ax-4.          2分

(2)由f′(-1)=0,得a=.      3分

此時有f(x)=(x²-4)(x-),

∴f′(x)=3x²-x-4.

由f′(x)=0,得x=或x=-1.   5分

又f()=-,f(-1)=,f(-2)=0,f(2)=0,                  7分

∴f(x)在［-2,2］上的最大值為,最小值為.       8分

18.★(本小題滿分10分)某產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個檔次,生產(chǎn)第一檔(即最低檔次)的利潤是每件8元,每提高一個檔次,利潤每件增加2元,但在相同的時間內(nèi)產(chǎn)量減少3件.在相同的時間內(nèi),最低檔的產(chǎn)品可生產(chǎn)60件.問在相同的時間內(nèi),生產(chǎn)第幾檔次的產(chǎn)品的總利潤最大?有多少元?

分析 在一定條件下,“利潤最大”“用料最省”“面積最大”“效率最高”“強度最大”等問題,在生產(chǎn)、生活中經(jīng)常用到,在數(shù)學上這類問題往往歸結(jié)為求函數(shù)的最值問題.除了常見的求最值的方法外,還可用求導法求函數(shù)的最值.但無論采取何種方法都必須在函數(shù)的定義域內(nèi)進行.

解法一 設(shè)相同的時間內(nèi),生產(chǎn)第x(x∈N*,1≤x≤10)檔次的產(chǎn)品利潤y最大.         2分

依題意,得y=［8+2(x-1)］［60-3(x-1)］            4分

=-6x²+108x+378

=-6(x-9)²+864(1≤x≤10),                       8分

顯然,當x=9時,y_max=864(元),

即在相同的時間內(nèi),生產(chǎn)第9檔次的產(chǎn)品的總利潤最大,最大利潤為864元.   10分

解法二 由上面解法得到y(tǒng)=-6x²+108x+378.

求導數(shù),得y′=-12x+108.

令y′=-12x+108=0,

解得x=9.因為x=9∈［1,10］,y只有一個極值點,所以它是最值點,即在相同的時間內(nèi),生產(chǎn)第9檔次的產(chǎn)品利潤最大,最大利潤為864元.

19.(本小題滿分10分)某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料.瓶子的制造成本是0.8πr²分(其中r是瓶子的半徑,單位是厘米).已知每出售1 mL的飲料,制造商可獲利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6 cm.

(1)瓶子半徑多大時,能使每瓶飲料的利潤最大?

(2)瓶子半徑多大時,每瓶飲料的利潤最小?

分析 本題考查導數(shù)的應用及利用導數(shù)知識解決實際問題的能力.

解 由于瓶子的半徑為r,所以每瓶飲料的利潤是

y=f(r)=0.2×πr³-0.8πr²=0.8π(-r²),0<r≤6.      2分

令f′(r)=0.8π(r²-2r)=0.

當r=2時,f′(r)=0;

當r∈(0,2)時,f′(r)<0;

當r∈(2,6)時,f′(r)>0.      4分

因此,當半徑r>2時,f′(r)>0,它表示f(r)單調(diào)遞增,即半徑越大,利潤越高;半徑r<2時,f′(r)<0,它表示f(r)單調(diào)遞減,即半徑越大,利潤越低.           6分

(1)半徑為6 cm時,利潤最大.        8分

(2)半徑為2 cm時,利潤最小,這時f(2)<0,表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本,此時利潤是負值.                        10分