06 三角與向量
一、選擇題
1．（安徽2）．若
，
, 則
（ B
）
A． （1，1） B．（－1，－1） C．（3，7） D．（-3,-7）
2．（安徽5）．在三角形
中，
,則
的大小為（ A
）
A．
B．
C．
D．
3．（安徽8）．函數(shù)
圖像的對(duì)稱軸方程可能是（ D
）
A．
B．
C．
D．
4．（北京4）已知
中，
，
，
，那么角
等于（ C
）
A．
B．
C．
D．
5．（福建7）函數(shù)y=cosx(x∈R)的圖象向左平移
個(gè)單位后，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，則g(x)的解析式為（ A ）
A.-sinx B.sinx C.-cosx D.cosx
6．(福建8)在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a2+c2-b
ac,則角B的值為（ A ）
A.
B.
C.或
D.或
7．（廣東3）已知平面向量a=(1,2), b=(-2,m), 且a∥b, 則2a+3b= （ B ）
A.(-2,-4) B.(-3,-6) C.(-4,-8) D.(-5,-10)
8．（廣東5）已知函數(shù)f(x)=(1+cos2x)sin3x,x∈R, 則f(x)是 （ D ）
A.最小正周期為
的奇函數(shù) B.最小正周期為的偶函數(shù)
C.最小正周期為
的奇函數(shù) D.最小正周期為的偶函數(shù)
9．（寧夏5）已知平面向量
，
，
與
垂直，
則
（ A
）
A．
B．
C．
D．
C．
，
D．存在不全為零的實(shí)數(shù)
，
，
A．， B．， C．
，
D．，
12．（湖南7）在
中，AB=3，AC=2，BC=
，則
( D )
A．
B．
C．
D．
13．（江西6）函數(shù)
是（ A ）
A．以
為周期的偶函數(shù)
B．以
為周期的奇函數(shù)
C．以為周期的偶函數(shù)
D．以為周期的奇函數(shù)
14．（江西10）函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)的圖象是（ D ）
15．（遼寧5）已知四邊形
的三個(gè)頂點(diǎn)
，
，
，且
，則頂點(diǎn)
的坐標(biāo)為（ A
）
A．
B．
C．
D．
16．（遼寧8）將函數(shù)
的圖象按向量平移得到函數(shù)
的圖象，則（ A
）
A．
B．
C．
D．
17．（全國Ⅰ5） 在中，
，
．若點(diǎn)滿足
，則
=（ A
）
A．
B．
C．
D．
18．（全國Ⅰ6）
是（ D
）
A．最小正周期為
的偶函數(shù) B．最小正周期為的奇函數(shù)
C．最小正周期為
的偶函數(shù) D．最小正周期為的奇函數(shù)
19．（全國Ⅰ9）為得到函數(shù)
的圖象，只需將函數(shù)
的圖像（ C
）
A．向左平移
個(gè)長度單位 B．向右平移個(gè)長度單位
C．向左平移
個(gè)長度單位 D．向右平移個(gè)長度單位
20．（全國Ⅱ1）若
且
是，則
是（ C
）
A．第一象限角 B． 第二象限角 C． 第三象限角 D． 第四象限角
21．（全國Ⅱ10）函數(shù)
的最大值為（ B
）
A．1 B．
C．
D．2
22．(山東8) 已知
為的三個(gè)內(nèi)角
的對(duì)邊，向量
．若
，且
，則角
的大小分別為（ C
）
A．
B．
C．
D．
23．(山東10) 已知
，則
的值是（ C ）
A．
B．
C．
D．
24．（四川3）設(shè)平面向量
，則
( A )
�。ǎ粒�
�。ǎ拢�
（Ｃ）
�。ǎ模�
25．（四川4）
( D )
�。ǎ粒�
�。ǎ拢�
�。ǎ茫�
�。ǎ模�
26．（四川7）的三內(nèi)角
的對(duì)邊邊長分別為
，若
，則
( B )
�。ǎ粒�
（Ｂ）
�。ǎ茫�
�。ǎ模�
27．(天津6) 把函數(shù)
的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)
個(gè)單位長度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的
倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是（
C ）
A．
B．
C．
D．
28．(天津9) 設(shè)
，
，
，則（ D ）
A．
B．
C．
D．
29．（浙江2）函數(shù)
的最小正周期是 ( B )
（A） （B）
（C）
（D）
30．（浙江7）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)
的圖象和直線
的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ( C )
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
31．（重慶12）函數(shù)f(x)=
(0≤x≤2)的值域是 (
C )
(A)[-
] (B)[-
]
(C)[-
] (D)[-
]
32．(湖北1).設(shè)
( C )
A.
B.0
C.-3
D.-11
33．(湖北7).將函數(shù)
的圖象F向右平移個(gè)單位長度得到圖象F′，若F′的一條對(duì)稱軸是直線
則
的一個(gè)可能取值是 (
A )
A.
B.
C.
D.
34．(陜西1) 
等于（ B
）
A．
B．
C． D．
二、填空題
1．（北京9）若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)
，則
的值為______________．
2．（北京11）已知向量
與
的夾角為
，且
，那么
的值為________．
3．（湖南11）已知向量
，
，則
=_____________________.2
4．（江蘇1）
最小正周期為
，其中
，則
10
5．（江蘇5）
的夾角為
，
，則
7
6．（江蘇13）若
，則
的最大值 
7．（江西16）如圖，正六邊形
中，有下列四個(gè)命題：
A．
B．
C．
D．
其中真命題的代號(hào)是
（寫出所有真命題的代號(hào)）．
8．（遼寧16）設(shè)
，則函數(shù)
的最小值為
．
9．（全國Ⅱ13）設(shè)向量
，若向量與向量
共線，則
．2
10．（上海5）若向量
，
滿足
且與的夾角為，則
．
11．(天津14) 已知平面向量
，
，若
，則
．
12．（浙江12）若
，則
_________。
13．（浙江14）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為
、b、c ，若
，則
。
14．（浙江16）已知是平面內(nèi)的單位向量，若向量滿足
，則
的取值范圍是 。
15．(湖北12).在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，已知
則A＝
. 
16．(陜西13) 的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，
若
，則
．
17．(陜西15) 關(guān)于平面向量
．有下列三個(gè)命題：
①若
，則
．②若
，
，則
．
③非零向量和滿足
，則與
的夾角為
．
其中真命題的序號(hào)為 ② ．（寫出所有真命題的序號(hào)）
三、解答題
1．（安徽17）．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù)
的最小正周期和圖象的對(duì)稱軸方程
（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間
上的值域
解：（1）
（2）
因?yàn)?sub>
在區(qū)間
上單調(diào)遞增，在區(qū)間
上單調(diào)遞減，
所以 當(dāng)
時(shí)，取最大值 1
又 
，
當(dāng)時(shí)，取最小值
所以 函數(shù) 在區(qū)間上的值域?yàn)?sub>
2．（北京15）（本小題共13分）
已知函數(shù)
（
）的最小正周期為．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間
上的取值范圍．
解：（Ⅰ）
．
因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，且，
所以
，解得
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
．
因?yàn)?sub>
，
所以
，
所以
．
因此
，即的取值范圍為
．
3．（福建17）（本小題滿分12分）
已知向量
,且
(Ⅰ)求tanA的值；
(Ⅱ)求函數(shù)
R)的值域.
解：（Ⅰ）由題意得
m?n=sinA-2cosA=0,
因?yàn)閏osA≠0,所以tanA=2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得
因?yàn)閤
R,所以
.
當(dāng)
時(shí)，f(x)有最大值，
當(dāng)sinx=-1時(shí)，f(x)有最小值-3，
所以所求函數(shù)f(x)的值域是
4．（廣東16）（本小題滿分13分）
已知函數(shù)f(x)=Asin(x+
)(A>0,0<<),xR的最大值是1，其圖像經(jīng)過點(diǎn)M
.
(1) 求f(x)的解析式；
(2)
已知α，β
，且f(α)=
，f(β)=
，求f(α-β)的值.
解：（1）依題意知 A=1
， 又
；
即 
因此 
；
（2）
，
且 
，
5．（寧夏17）（本小題滿分12分）
如圖，
是等邊三角形，是等腰直角三角形，
，
交
于
，
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
．
解：（Ⅰ）因?yàn)?sub>
，
，
所以
．
所以
．???????????????????????????????????????????????? 6分
（Ⅱ）在
中，，
由正弦定理
．
故
． 12分
6．（江蘇15）（14分）
如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以ox軸為始邊做兩個(gè)銳角
，它們的終邊分別與單位圓相交于A、B兩點(diǎn)，已知A、B的橫坐標(biāo)分別為
（1）求
的值； （2）求
的值。
【解析】：本小題考查三角函數(shù)的基本概念、三角函數(shù)
的基本關(guān)系式、兩角和的正切、二倍角的正切公式，
考查運(yùn)算求解能力。
由條件得
為銳角，
（1）
（2）
為銳角，
7．（江蘇17）（14分）
某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B及CD的中點(diǎn)P處，已知AB=20km，BC=10km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上（含邊界），且A、B與等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO、BO、OP，設(shè)排污管道的總長為ykm。
（1）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：
①設(shè)∠BAO=θ(rad)，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；
②設(shè)OP=x(km)，將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）請(qǐng)你選用（1）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短。
【解析】：本小題考查函數(shù)的概念、
解三角形、導(dǎo)數(shù)等基本知識(shí)，考查數(shù)學(xué)建模能力、
抽象概括能力和解決實(shí)際問題的能力。
（1）①由條件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ(rad)，則
，
故
又
，所以
所求函數(shù)關(guān)系式為
②若OP=x(km)，則OQ=10-x，所以
所求函數(shù)關(guān)系式為
（2）選擇函數(shù)模型①，
令
得
當(dāng)
時(shí)
，y是θ的減函數(shù)；當(dāng)
時(shí)
，y是θ的增函數(shù)；
所以當(dāng)
時(shí)，
此時(shí)點(diǎn)O位于線段AB的中垂線上，且距離AB邊
km處。
8．（江西17）已知
，
（1）求
的值；
（2）求函數(shù)
的最大值．
解：（1）由
得
，
于是=
.
（2）因?yàn)?sub>
所以
的最大值為
.
9．（湖南17）（本小題滿分12分）
已知函數(shù)f(x)＝cox2
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)當(dāng)x0∈(0,
)且f(x0)＝
時(shí)，求f(x0＋)的值.
解 由題設(shè)有f(x)＝cosx＋sinx=
.
(Ⅰ)函數(shù)f(x)的最小正周期是T＝2x.
(Ⅱ)由f(x0)＝得
，即sin
因?yàn)?i>x0∈(0,)，所以
從而cos
.
于是
10．（遼寧17）（本小題滿分12分）
在中，內(nèi)角對(duì)邊的邊長分別是，已知
，
．
（Ⅰ）若的面積等于，求
；
（Ⅱ）若
，求的面積．
解：（Ⅰ）由余弦定理得，
，
又因?yàn)?sub>的面積等于，所以
，得
．???????????????????????????? 4分
聯(lián)立方程組
解得
，
．?????????????????????????????????????????????????????? 6分
（Ⅱ）由正弦定理，已知條件化為
，?????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
聯(lián)立方程組
解得
，
．
所以的面積
．?????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
11．（全國Ⅰ17）（本小題滿分12分）
設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊長分別為，且
，
．
（Ⅰ）求邊長；
（Ⅱ）若的面積
，求的周長
．
解：（1）由與兩式相除，有：
又通過知：
，
則
，
，
則
．
（2）由
，得到
．
由
，
解得：
，
最后
．
12．（全國Ⅱ17）（本小題滿分10分）
在中，
，．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）設(shè)
，求的面積．
解：（Ⅰ）由，得
，
由，得．????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
所以
．?????????????????????????????????? 5分
（Ⅱ）由正弦定理得
．???????????????????????????????????????? 8分
所以的面積
．??????????????????? 10分
13．(山東17)（本小題滿分12分）
已知函數(shù)
（
，）為偶函數(shù)，且函數(shù)
圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)
的圖象，求
的單調(diào)遞減區(qū)間．
解：（Ⅰ）
．
因?yàn)?sub>為偶函數(shù)，
所以對(duì)
，
恒成立，
因此
．
即
，
整理得
．
因?yàn)?sub>，且，
所以
．
又因?yàn)?sub>，
故
．
所以
．
由題意得
，所以
．
故
．
因此
．
（Ⅱ）將的圖象向右平移個(gè)單位后，得到
的圖象，
所以
．
當(dāng)
（
），
即
（）時(shí)，單調(diào)遞減，
因此的單調(diào)遞減區(qū)間為
（）．
14．（上海17）（本題滿分13分）
如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形AOC．小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)A及點(diǎn)C處，小區(qū)里
有兩條筆直的小路
，且拐彎處的轉(zhuǎn)角為．已知某人從
沿
走到用了10分鐘，從沿
走到用了6分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑
的長（精確到1米）．
 |
【解法一】設(shè)該扇形的半徑為r米. 由題意，得
CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=
……………………………4分
在
中，
……………6分
即
…………………….9分
解得
（米）. …………………………………………….13分
【解法二】連接AC，作OH⊥AC，交AC于H…………………..2分
由題意，得CD=500（米），AD=300（米），
………….4分
∴ AC=700（米） …………………………..6分
………….…….9分
在直角
∴ 
（米）. ………………………13分
15．（上海18）（本題滿分15分）本題共有2個(gè)小題，第1個(gè)題滿分5分，第2小題滿分10分．
已知函數(shù)f(x)=sin2x，g(x)=cos
，直線
與函數(shù)
的圖像分別交于M、N兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)
時(shí)，求｜MN｜的值；
（2）求｜MN｜在
時(shí)的最大值．
【解】（1）
…………….2分
………………………………5分
（2）
…………...8分
…………………………….11分
∵ 
…………13分
∴ ｜MN｜的最大值為.
……………15分
16．（四川17）（本小題滿分12分）
求函數(shù)
的最大值與最小值。
【解】：
由于函數(shù)
在
中的最大值為
最小值為
故當(dāng)
時(shí)
取得最大值
，當(dāng)
時(shí)取得最小值
17．(天津17)（本小題滿分12分）
已知函數(shù)
的最小正周期是．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函數(shù)的最大值，并且求使取得最大值的
的集合．
（Ⅰ）解：
．
由題設(shè)，函數(shù)的最小正周期是，可得
，所以．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，
．
當(dāng)
，即
時(shí)，
取得最大值1，所以函數(shù)的最大值是
，此時(shí)的集合為
．
18．（重慶17）（本小題滿13分，（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問8分.）
設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知
，求：
（Ⅰ）A的大小;
（Ⅱ）
的值.
解：(Ⅰ)由余弦定理，
(Ⅱ)
19．(湖北16).（本小題滿12分）
已知函數(shù)
（Ⅰ）將函數(shù)化簡(jiǎn)成
的形式，并指出的周期；
（Ⅱ）求函數(shù)
上的最大值和最小值
解：(Ⅰ)f(x)=
sinx+
.
故f(x)的周期為2kπ｛k∈Z且k≠0｝.
(Ⅱ)由π≤x≤
π，得
.因?yàn)?i>f(x)＝
在[
]上是減函數(shù)，在[
]上是增函數(shù).
故當(dāng)x=
時(shí)，f(x)有最小值－
；而f(π)=－2，f(π)＝－
＜－2，
所以當(dāng)x=π時(shí)，f(x)有最大值－2.
20．(陜西17)（本小題滿分12分）
已知函數(shù)
．
（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令
，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由．
解：（Ⅰ）
．
的最小正周期
．
當(dāng)
時(shí)，取得最小值；當(dāng)
時(shí)，取得最大值2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
．又．
．
．
函數(shù)是偶函數(shù)．
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的最小值和最大值分別為（ C
）