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1.（2002天津理，15）直線x=0，y=0，x=2與曲線y=（）^x所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積等于_____.

2.（1998上海，3）若，則a=      .

3.（1996上海理，16）=      .

4.（2002天津文，21）已知a＞0，函數(shù)f（x）=x³－a，x∈［0，+∞）.設(shè)x₁＞0，記曲線y=f（x）在點(diǎn)M（x₁，f（x₁））處的切線為l.

（Ⅰ）求l的方程；

（Ⅱ）設(shè)l與x軸交點(diǎn)為（x₂，0）.證明：

（i）x₂≥a；

（ii）若x₁＞a，則a＜x₂＜x₁.

5.（2002天津理，20）已知a＞0，函數(shù)f（x）=，x∈（0，+∞）.設(shè)0＜x₁＜，記曲線y=f（x）在點(diǎn)M（x₁，f（x₁））處的切線為l.

（Ⅰ）求l的方程；

（Ⅱ）設(shè)l與x軸交點(diǎn)為（x₂，0），證明：

（i）0＜x₂≤；

（ii）若x₁＜，則x₁＜x₂＜.

6.（2001天津理，21）某電廠冷卻塔外形是如圖11―1所示雙曲線的一部分繞其中軸(即雙曲線的虛軸)旋轉(zhuǎn)所成的曲面,其中A、A′是雙曲線的頂點(diǎn)，C、C′是冷卻塔上口直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，B、B′是下底直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，已知AA′=14 m，CC′=18 m，BB′=22 m，塔高20 m.

（1）建立坐標(biāo)系并寫出該雙曲線方程.

^※（2）求冷卻塔的容積（精確到10 m³，塔壁厚度不計(jì)，π取3.14）

7.（1995上海文，22）設(shè)y=f（x）是二次函數(shù),方程f（x）=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，且

f′（x）=2x+2.

（1）求y=f（x）的表達(dá)式；

^※（2）求y=f（x）的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積.

8.（1995上海理，22）設(shè)y=f（x）是二次函數(shù)，方程f（x）=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，且

f′（x）=2x+2.

（1）求y=f（x）的表達(dá)式；

^※（2）若直線x=－t（0＜t＜1）把y=f（x）的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積二等分，求t的值.

說(shuō)明：凡標(biāo)有^※的試題與2002年教學(xué)大綱及2003年高考考試說(shuō)明要求不符，僅供讀者自己選用.

●答案解析

1.答案：

解析：由旋轉(zhuǎn)體的體積公式V=π

.

2.答案：4

解析：依題意有：=2，∴a=4

3.答案：－

解析：原式=.

4.（Ⅰ）解：求f（x）的導(dǎo)數(shù)：f′（x）=3x²，由此得切線l的方程：

y－（x₁³－a）=3x₁²（x－x₁）.

（Ⅱ）證明：依題意，切線方程中令y=0，

x₂=x₁－，

（i）≥0，

∴x₂≥a，

當(dāng)且僅當(dāng)x₁=a時(shí)等號(hào)成立.

（ii）若x₁＞a，則x₁³－a＞0，x₂－x₁=－＜0，且由（i）x₂＞a，

所以a＜x₂＜x₁.

5.（Ⅰ）解：求f（x）的導(dǎo)數(shù)：f′（x）=－，由此得切線l的方程：

y－（）=－（x－x₁）.

（Ⅱ）證明：依題意，切線方程中令y=0，

x₂=x₁（1－ax₁）+x₁=x₁（2－ax₁），其中0＜x₁＜.

（i）由0＜x₁＜，x₂=x₁（2－ax₁），有x₂＞0，及x₂=－a（x₁－）²+.

∴0＜x₂≤，當(dāng)且僅當(dāng)x₁=時(shí)，x₂=.

（ii）當(dāng)x₁＜時(shí)，ax₁＜1，因此，x₂=x₁（2－ax₁）＞x₁，且由（i），x₂＜，

所以x₁＜x₂＜.

6.（1）如圖11―2建立直角坐標(biāo)系，xOy，使AA′在x軸上，

AA′的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，CC′與BB′平行于x軸.

設(shè)雙曲線方程為=1（a＞0，b＞0），則a=AA′=7.

又設(shè)B（11，y₁），C（9，y₂），因?yàn)辄c(diǎn)B、C在雙曲線上，所以有

            ①

      ②

由題意，知y₂－y₁=20. ③

由①、②、③，得

y₁=－12，y₂=8.b=7.

故雙曲線方程為=1；

（2）由雙曲線方程，得x²=y²+49.

設(shè)冷卻塔的容積為V（m³），則

.

經(jīng)計(jì)算，得V=4.25×10³（m³）.

答：冷卻塔的容積為4.25×10³ m³.

評(píng)述：本題考查選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系建立曲線方程和解方程組的基礎(chǔ)知識(shí)，考查應(yīng)用所學(xué)積分知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

7.解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，則f′（x）=2ax+b，又已知f′（x）=2x+2

∴a=1，b=2.

∴f（x）=x²+2x+c

又方程f（x）=0有兩個(gè)相等實(shí)根，

∴判別式Δ=4－4c=0，即c=1.

故f（x）=x²+2x+1.

（2）依題意，有所求面積=.

評(píng)述：本題考查導(dǎo)數(shù)和積分的基本概念.

8.解：（1）與7（1）相同.（2）依題意，有，

∴，

－t³+t²－t+=t³－t²+t，2t³－6t²+6t－1=0，

∴2（t－1）³=－1，于是t=1－.

●命題趨向與應(yīng)試策略

1.本章內(nèi)容在高考中以填空題和解答題為主.主要考查：

（1）函數(shù)的極限；

（2）導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的性質(zhì)及在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用；

（3）計(jì)算曲邊圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積.

2.考生應(yīng)立足基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的復(fù)習(xí)，以課本題目為主，以熟練技能，鞏固概念為目標(biāo).