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          北京市西城區(qū)2009年3月高三抽樣測(cè)試
                數(shù)學(xué)理科     
2009.3
                 本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。
          第I卷（選擇題，共40分）
          一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
          2．若的     （    ）
          A．充分不必要條件     B．必要不充分條件     C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
          

          試題詳情
          

          3．已知函數(shù)的反函數(shù). 若的圖象過(guò)點(diǎn)（3，4），則a等于（    ）       A．  B．  C．  D．2
          

          試題詳情
          

          4．在正三棱錐P―ABC中，D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，有下列三個(gè)論斷：
          

          試題詳情
          

          ①；    ②AC//平面PDE；       ③.
          其中正確論斷的個(gè)數(shù)為                     （    ）
                 A．0個(gè)  B．1個(gè)  C．2個(gè)  D．3個(gè)
          

          試題詳情
          

          5．若的值為    （    ）
                 A．9      B．8       C．7       D．6
          

          試題詳情
          

          6．已知a，b是不共線的向量，R）那么A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件為  （    ）
          

          試題詳情
          

                 A．         B．        C．=－1         D．=1
          

          試題詳情
          

          7．設(shè)雙曲線的半焦距為c，離心率為.若直線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰為c，則k等于                     （    ）
          

          試題詳情
          

          A． B．  C．      D．
          

          試題詳情
          

          8．如圖，正五邊形ABCDE中，若把頂點(diǎn)A、B、C、D、E染上
                 紅、黃、綠、三種顏色中的一種，使得相鄰頂點(diǎn)所染顏色不
                 相同，則不同的染色方法共有      （    ）
                 A．30種       B．27種      C．24種   
D．21種
          第Ⅱ卷（非選擇題，共110分）
          

          試題詳情
          

          二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分. 把答案填在題中橫線上.）
          9．設(shè)甲、乙、丙三個(gè)加工廠共生產(chǎn)玩具6000件，其中甲廠生產(chǎn)了1440件. 現(xiàn)采用分層抽樣的方法從三個(gè)加工廠抽取一個(gè)容量為500件的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，則應(yīng)從甲加工廠抽取
                           件玩具.
          


          
 
          
  
  
          
   
          
    
    
          
    
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          試題詳情
          

          11．=         
.
          

          試題詳情
          

          12．設(shè)R，函數(shù)的最小值是－2，則實(shí)數(shù)k=         
.
          

          試題詳情
          

          13．已知正四棱柱ABCD―A1B1C1D1的底面ABCD邊長(zhǎng)為1，高AA1=，它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，那么球的半徑是          
；A，B兩點(diǎn)的球面距離為        
.
          

          試題詳情
          

          14．按下列程序框圖運(yùn)算：
          

          試題詳情
          

           
           
           
                 規(guī)定：程序運(yùn)行到“判斷結(jié)果是否大于244”為1次運(yùn)算.
          

          試題詳情
          

                 若x=5，則運(yùn)算進(jìn)行       次才停止；若運(yùn)算進(jìn)行k N*）次才停止，則x的取值范圍是            
.
          

          試題詳情
          

          三、解答題（本大題共6小題，共80分. 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）
          15．（本小題滿分12分）
          

          試題詳情
          

                 已知為第二象限的角，為第三象限的角，.
          

          試題詳情
          

            
（I）求的值.
          

          試題詳情
          

            
（II）求的值.
          


          
 
          
  
  
          
   
          
    
    
          
    
          2,4,6
          

          試題詳情
          

          設(shè)甲、乙兩套試驗(yàn)方案在一次試驗(yàn)中成功的概率均為p，且這兩套試驗(yàn)方案中至少有一套試驗(yàn)成功的概率為0.51. 假設(shè)這兩套試驗(yàn)方案在試驗(yàn)過(guò)程中，相互之間沒(méi)有影響.
            
（I）求p的值；
          

          試題詳情
          

            
（II）設(shè)試驗(yàn)成功的方案的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望E.
           
           
          

          試題詳情
          

          17．（本小題滿分14分）
          

          試題詳情
          

                 如圖，正三棱柱ABC―A1B1C1中，D是BC的中點(diǎn)，AA1=AB=1.
            
（I）求證：A1C//平面AB1D；
            
（II）求二面角B―AB1―D的大��；
            
（III）求點(diǎn)c到平面AB1D的距離.
          

          試題詳情
          

          18．（本小題滿分14分）
          

          試題詳情
          

                    設(shè)直線與橢圓相交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C，記O為坐標(biāo)原點(diǎn).
          

          試題詳情
          

            
（I）證明：；
          

          試題詳情
          

            
（II）若的面積取得最大值時(shí)的橢圓方程.
          


          
 
          
  
 
          
 
          
  
  
  
          
   
          
    
    
          
    
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          試題詳情
          

          19．（本小題滿分14分）
          

          試題詳情
          

                 設(shè)a>0，函數(shù).
          

          試題詳情
          

            
（I）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求a的取值范圍；
          

          試題詳情
          

            
（II）求在區(qū)間上的最大值.
           
          

          試題詳情
          

          20．（本小題滿分14分）
          

          試題詳情
          

                 設(shè)是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列. 對(duì)于滿足的整數(shù)k,
          

          試題詳情
          

          數(shù)列確定. 記.
          （I）當(dāng)k=1時(shí)，求M的值；
          （II）求M的最小值及相應(yīng)的k的值.
          

          試題詳情
          

          一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.
          


          
 
          
  
  
            

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            二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.
            9．120   10．5    11．   12．   13．1（2分），（3分）
            14．4（2分），（3分）
            三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
            15．（本小題滿分12分）
              
（I）解：因?yàn)棣翞榈诙笙薜慕牵?sub>，
            所以，，………………………………………2分
             ……………………………………………………… 4分
            又，
            所以， …………………………… 6分
              
（II）解：因?yàn)棣聻榈谌笙薜慕牵?sub>，
            所以， …………………………………………8分
            又，………10分
            所以， ………………12分
            16．（本小題滿分12分）
              
（I）解：記這兩套試驗(yàn)方案在一次試驗(yàn)中均不成功的事件為A，則至少有一套試驗(yàn)成功的事件為
                由題意，這兩套試驗(yàn)方案在一次試驗(yàn)中不成功的概率均為1－p.
            所以，，
             
            從而，
            令 ………………………………………6分
              
（II）解：ξ的可取值為0，1，2. ……………………………………………7分
             ……………………………………………………10分
            所以ξ的分布列為
            ξ
            0
            1
            2
            P
            0.49
            0.42
            0.09
            ξ的數(shù)學(xué)期望……12分
            


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            解法一（I）證明：
            連接A1B，設(shè)A1B∩AB1 = E，連接DE.
            ∵ABC―A1B1C1是正三棱柱，且AA1 = AB，
            ∴四邊形A1ABB1是正方形，
            ∴E是A1B的中點(diǎn)，
            又D是BC的中點(diǎn)，
            ∴DE∥A1C. ………………………… 3分
            ∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，
            ∴A1C∥平面AB1D. ……………………4分
              
（II）解：在面ABC內(nèi)作DF⊥AB于點(diǎn)F，在面A1ABB1內(nèi)作FG⊥AB1于點(diǎn)G，連接DG.
            ∵平面A1ABB1⊥平面ABC，  ∴DF⊥平面A1ABB1，
            ∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影，  ∵FG⊥AB1， ∴DG⊥AB1
            ∴∠FGD是二面角B―AB1―D的平面角 …………………………7分
            設(shè)A1A
= AB = 1，在正△ABC中，DF=
            在△ABE中，，
            在Rt△DFG中，，
            所以，二面角B―AB1―D的大小為 …………………………9分
              
（III）解：∵平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC，
            ∴AD⊥平面B1BCC1，又AD平面AB1D，∴平面B1BCC1⊥平面AB1D.
            在平面B1BCC1內(nèi)作CH⊥B1D交B1D的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，
            則CH的長(zhǎng)度就是點(diǎn)C到平面AB1D的距離. ……………………………12分
            由△CDH∽△B1DB，得
            即點(diǎn)C到平面AB1D的距離是 ……………………………………14分
            


              1. 
 
                
  
  
                
   
                
    
    
                
    
                建立空間直角坐標(biāo)系D―xyz，如圖，
                  
（I）證明：
                連接A1B，設(shè)A1B∩AB1 = E，連接DE.
                設(shè)A1A
= AB = 1，
                則
                 …………………………3分
                ，
                 ……………………………………4分
                  
（II）解：， ，
                設(shè)是平面AB1D的法向量，則，
                故；
                同理，可求得平面AB1B的法向量是 ……………………7分
                設(shè)二面角B―AB1―D的大小為θ，，
                ∴二面角B―AB1―D的大小為 …………………………9分
                  
（III）解由（II）得平面AB1D的法向量為，
                取其單位法向量
                ∴點(diǎn)C到平面AB1D的距離 ……………………14分
                18．（本小題滿分14分）
                  
（I）解：依題意，直線l顯然不平行于坐標(biāo)軸，故
                將，得
                     
① ………………………… 3分
                由直線l與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，得
                ，
                即 …………………………………………………… 5分
                  
（II）解：設(shè)由①，得
                因?yàn)?sub>，代入上式，得  ……………8分
                于是，△OAB的面積 
                                     
 ………………11分
                其中，上式取等號(hào)的條件是 ……………………12分
                 
                由
                將這兩組值分別代入①，均可解出
                所以，△OAB的面積取得最大值的橢圓方程是 ………………14分
                19．（本小題滿分14分）
                  
（I）解：對(duì)函數(shù) ……………………… 2分
                要使上是增函數(shù)，只要上恒成立，
                即上恒成立 ……………………………………4分
                因?yàn)?sub>上單調(diào)遞減，所以上的最小值是，
                注意到a > 0，所以a的取值范圍是 ……………………………………6分
                  
（II）解：①當(dāng)時(shí)，由（I）知，上是增函數(shù)，
                此時(shí)上的最大值是 ……………………8分
                ②當(dāng)，
                解得 ……………………………………………………10分
                因?yàn)?sub>，
                所以上單調(diào)遞減，
                此時(shí)上的最大值是………… 13分
                綜上，當(dāng)時(shí)，上的最大值是；
                當(dāng)時(shí)，上的最大值是 ……………14分
                20．（本小題滿分14分）
                  
（I）解：顯然 ……………………………………1分
                當(dāng) ……………………………………3分
                所以，
                        
 …………………………6分
                  
（II）解：
                  
………………………………………………9分
                  

                     ………………12分
                當(dāng)
                所以，M的最小值為 ………………………………14分