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        1. 上海市2009年高考模擬試題匯編

          圓錐曲線

          一、填空題

          1、(2009上海青浦區(qū))已知是橢圓上的一個動點,則

          試題詳情

          的最大值是      

          5

           

          試題詳情

          2、(2009閔行三中模擬)已知為雙曲線的右頂點,F(xiàn)是雙曲線的右焦點,則|AF|=_______。

          1

           

          試題詳情

          3、(2009冠龍高級中學3月月考)以橢圓中心為頂點,右頂點為焦點的拋物線的標準方程為_____________。

           

          試題詳情

          4、(2009上海普陀區(qū))設聯(lián)結雙曲線)的個頂點的四邊形面積為,聯(lián)結其個焦點的四邊形面積為,則的最大值為            .

          試題詳情

          試題詳情

          5、(2009上海十四校聯(lián)考)以原點為頂點,x軸為對稱軸且焦點在6ec8aac122bd4f6e上的拋物線方程是        

          試題詳情

          6ec8aac122bd4f6e

          試題詳情

          二、解答題

          1、(2009上海十四校聯(lián)考)我們知道,判斷直線與圓的位置關系可以用圓心到直線的距離進行判別,那么直線與橢圓的位置關系有類似的判別方法嗎?請同學們進行研究并完成下面問題

          試題詳情

             (1)設F1、F2是橢圓6ec8aac122bd4f6e的兩個焦點,點F1、F2到直線6ec8aac122bd4f6e的距離分別為d1、d2,試求d1?d2的值,并判斷直線L與橢圓M的位置關系

          試題詳情

             (2)設F1、F2是橢圓6ec8aac122bd4f6e的兩個焦點,點F1、F2到直線

          試題詳情

                  6ec8aac122bd4f6emn不同時為0)的距離分別為d1、d2,且直線L與橢圓M相切,試求d1?d2的值

             (3)試寫出一個能判斷直線與橢圓的位置關系的充要條件,并證明

             (4)將(3)中得出的結論類比到其它曲線,請同學們給出自己研究的有關結論(不必證明)

           

          試題詳情

           解:(1)6ec8aac122bd4f6e; ………………2分

          試題詳情

              聯(lián)立方程6ec8aac122bd4f6e; …………3分

          試題詳情

              6ec8aac122bd4f6e與橢圓M相交 …………4分

          試題詳情

             (2)聯(lián)立方程組6ec8aac122bd4f6e

              消去

          試題詳情

          6ec8aac122bd4f6e

          試題詳情

             (3)設F1、F2是橢圓6ec8aac122bd4f6e的兩個焦點,點F1、F2到直線

          試題詳情

              6ec8aac122bd4f6e的距離分別為d1、d2,且F1、F2在直線L的同側那么直線L與橢圓相交的充要條件為:6ec8aac122bd4f6e;直線L與橢圓M相切的充要條件為:6ec8aac122bd4f6e;直線L與橢圓M相離的充要條件為:6ec8aac122bd4f6e ……14分

          試題詳情

              證明:由(2)得,直線L與橢圓M相交6ec8aac122bd4f6e

          試題詳情

              6ec8aac122bd4f6e

              命題得證

             (寫出其他的充要條件僅得2分,未指出“F1、F2在直線L的同側”得3分)

          試題詳情

             (4)可以類比到雙曲線:設F1、F2是雙曲線6ec8aac122bd4f6e的兩個焦點,點F1、F2到直線6ec8aac122bd4f6e距離分別為d1、d2,且F1、F2在直線L的同側。那么直線L與雙曲線相交的充要條件為:6ec8aac122bd4f6e;直線L與雙曲線M相切的充要條件為:6ec8aac122bd4f6e;直線L與雙曲線M相離的充要條件為:6ec8aac122bd4f6e

          ………………20分

             (寫出其他的充要條件僅得2分,未指出“F1、F2在直線L的同側”得3分)

          試題詳情

          2、(2009上海盧灣區(qū)4月?迹┤鐖D,已知點,動點軸上,點

          試題詳情

          軸上,其橫坐標不小于零,點在直線上,

          試題詳情

          且滿足.

          試題詳情

           (1)當點軸上移動時,求點的軌跡;

          試題詳情

           (2)過定點作互相垂直的直線,

          試題詳情

          (1)中的軌跡交于兩點,與(1)中的軌跡交于、兩點,求四邊形面積的最小值;

           (3)(在下列兩題中,任選一題,寫出計算過程,并求出結果,若同時選做兩題,

          則只批閱第②小題,第①題的解答,不管正確與否,一律視為無效,不予批閱):

          試題詳情

            ① (解答本題,最多得6分)將(1)中的曲線推廣為橢圓:,并

          試題詳情

          將(2)中的定點取為焦點,求與(2)相類似的問題的解;

          試題詳情

            ② (解答本題,最多得9分)將(1)中的曲線推廣為橢圓:,并

          將(2)中的定點取為原點,求與(2)相類似的問題的解.

          試題詳情

          解:(1)設,易知,,,由題設

          試題詳情

          其中,從而,,且,

          試題詳情

          又由已知,得

          試題詳情

          時,,此時,得,

          試題詳情

          ,故,即,

          試題詳情

          時,點為原點,軸,軸,點也為原點,從而點也為原點,因此點的軌跡的方程為,它表示以原點為頂點,以為焦點的拋物線;                                         (4分)

          試題詳情

          (2)由題設,可設直線的方程為,直線的方程為,,又設、,

          試題詳情

          則由,消去,整理得,

          試題詳情

          ,同理,                    (7分)

          試題詳情

          ,當且僅當時等號成立,因此四邊形面積的最小值為.     (9分)

          試題詳情

            (3)①  當時可設直線的方程為,

          試題詳情

          ,得,

          試題詳情

          ,,                     (12分)

          試題詳情

          ,

          試題詳情

          當且僅當時等號成立.                                      (14分)

          試題詳情

          時,易知,得,故當且僅當時四邊形面積有最小值.                              (15分)

          試題詳情

          ②  由題設,可設直線的方程為,當時,由,

          試題詳情

          消去,整理得,得,

          試題詳情

          同理,                                    (12分)

          試題詳情

          ,其中

          試題詳情

          若令,則由

          試題詳情

          ,其中,即,故當且僅當,即時,有最大值,由,得有最小值,故當且僅當時,四邊形面積有最小值為.       (17分)

          試題詳情

           又當時,,此時,由,得當且僅當時,四邊形面積有最小值為.      (18分)

           

          試題詳情

          3、(2009上海八校聯(lián)考)已知雙曲線的漸近線方程為,左焦點為F,過的直線為,原點到直線的距離是

          (1)求雙曲線的方程;

          試題詳情

           (2)已知直線交雙曲線于不同的兩點C,D,問是否存在實數(shù),使得以CD為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的左焦點F。若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由

          試題詳情

          解:(1)∵                      2分

          試題詳情

          原點到直線AB:的距離,  4分

          試題詳情

            故所求雙曲線方程為         6分

          試題詳情

          (2)把中消去y,整理得 .                    8分

          試題詳情

          ,則

          試題詳情

           

          試題詳情

          因為以CD為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的左焦點F,所以 ,   10分

          試題詳情

          可得     把代入,

          試題詳情

          解得:                      13分

          試題詳情

          ,得,滿足,14分

           

          試題詳情

          4、(2009上海奉賢區(qū)模擬考)已知:點P與點F(2,0)的距離比它到直線+4=0的距離小2,若記點P的軌跡為曲線C。

          (1)求曲線C的方程。

          (2)若直線L與曲線C相交于A、B兩點,且OA⊥OB。求證:直線L過定點,并求出該定點的坐標。

          試題詳情

          (3)試利用所學圓錐曲線知識參照(2)設計一個與直線過定點有關的數(shù)學問題,并解答所提問題。

          試題詳情

          (1)解法(A):點P與點F(2,0)的距離比它到直線+4=0的距離小2,所以點P與點F(2,0)的距離與它到直線+2=0的距離相等。              ----(1分)

          試題詳情

          由拋物線定義得:點在以為焦點直線+2=0為準線的拋物線上,          ----(1分)

          試題詳情

          拋物線方程為。                             ----(2分) 

          試題詳情

          解法(B):設動點,則。當時,,化簡得:,顯然,而,此時曲線不存在。當時,,化簡得:。

          試題詳情

          (2),

          試題詳情

          ,

          試題詳情

          ,               ----(1分)

          試題詳情

          ,

          試題詳情

          ,即,,           ----(2分)

          試題詳情

          直線為,所以                      ----(1分)

          試題詳情

          試題詳情

                                   ----(1分)

          試題詳情

          由(a)(b)得:直線恒過定點。                        ----(1分)

          試題詳情

          1、(逆命題)如果直線,且與拋物線相交于A、B兩點,O為坐標原點。求證:OA⊥OB    (評分:提出問題得1分,解答正確得1分)

          試題詳情

          (若,求證:?=0,得分相同)

          試題詳情

          2、(簡單推廣命題)如果直線L與拋物線=2px(p>0)相交于A、B兩點,且OA⊥OB。求證:直線L過定點(2p,0)

          或:它的逆命題(評分:提出問題得2分,解答正確得1分)

          試題詳情

          3、(類比)

          試題詳情

          3.1(1)如果直線L與橢圓=1(a>b>0)相交于A、B兩點,M是其右頂點,當MA⊥MB。求證:直線L過定點(,0)

          試題詳情

          3.1(2)如果直線L與橢圓=1(a>b>0)相交于A、B兩點,M是其左頂點,當MA⊥MB。求證:直線L過定點(,0)

          試題詳情

          3.1(3)或它的逆命題

          試題詳情

          3.2(1)如果直線L與雙曲線=1(a>0,b>0)相交于A、B兩點,M是其右頂點,當MA⊥MB。求證:直線L過定點(,0)(a≠b)

          試題詳情

          3.2(2)如果直線L與雙曲線=1(a>0,b>0)相交于A、B兩點,M是其左頂點,當MA⊥MB。求證:直線L過定點(,0)(a≠b)

          試題詳情

          3.2(3)或它的逆命題

          (評分:提出問題得3分,解答正確得3分)

          試題詳情

          4、(再推廣)

          直角頂點在圓錐曲線上運動

          試題詳情

          如:如果直線L與拋物線=2px(p>0)相交于A、B兩點,P是拋物線上一定點(,),且PA⊥PB。求證:直線L過定點(+2p,-)

          (評分:提出問題得4分,解答正確得3分)

          試題詳情

          5、(再推廣)

          試題詳情

          如果直線L與拋物線=2px(p>0)相交于A、B兩點,P是拋物線上一定點(,),PA與PB的斜率乘積是常數(shù)m。求證:直線L過定點(,-)

          (評分:提出問題得5分,解答正確得4分)

           

          試題詳情

          ?為常數(shù)

          試題詳情

          頂點在圓錐曲線上運動并把直角改為一般定角或OA與OB的斜率乘積是常數(shù)或?為常數(shù)

           

          試題詳情

          5、(2009冠龍高級中學3月月考)雙曲線上一點到左,右兩焦點距離的差為2.

          (1)求雙曲線的方程;

          試題詳情

          (2)設是雙曲線的左右焦點,是雙曲線上的點,若,

          試題詳情

          的面積;

          試題詳情

          (3)過作直線交雙曲線兩點,若,是否存在這樣的直線,使為矩形?若存在,求出的方程,若不存在,說明理由.

          試題詳情

          (1)

          試題詳情

          (2)      妨設在第一象限,則

          試題詳情

          試題詳情

          (3)若直線斜率存在,設為,代入

          試題詳情

          試題詳情

          若平行四邊形為矩形,則

          試題詳情

          無解

          試題詳情

          若直線垂直軸,則不滿足.

          試題詳情

          故不存在直線,使為矩形.

          試題詳情

          6、(2009上海青浦區(qū))已知是拋物線上的相異兩點.

          試題詳情

          (1)設過點且斜率為-1的直線,與過點且斜率1的直線相交于點P(4,4),求直線AB的斜率;

          (2)問題(1)的條件中出現(xiàn)了這樣的幾個要素:已知圓錐曲線G,過該圓錐曲線上的

          試題詳情

          相異兩點A、B所作的兩條直線相交于圓錐曲線G上一點;結論是關于直線AB的斜率的值.請你對問題(1)作適當推廣,并給予解答;

          試題詳情

          (3)線段AB(不平行于軸)的垂直平分線與軸相交于點.若,試用線段AB中點的縱坐標表示線段AB的長度,并求出中點的縱坐標的取值范圍.

          試題詳情

          (1)由解得;由解得

          試題詳情

          由點斜式寫出兩條直線的方程,,

          試題詳情

          所以直線AB的斜率為.                                   ……4分

          (2)推廣的評分要求分三層

          一層:點P到一般或斜率到一般,或拋物線到一般(3分,問題1分、解答2分)

          試題詳情

          例:1.已知是拋物線上的相異兩點.設過點且斜率為-1的直線,與過點且斜率為1的直線相交于拋物線上的一定點P,求直線AB的斜率;

          試題詳情

          2.已知是拋物線上的相異兩點.設過點且斜率為-k 1的直線,與過點且斜率為k的直線相交于拋物線上的一點P(4,4),求直線AB的斜率;

          試題詳情

          3.已知是拋物線上的相異兩點.設過點且斜率為-1的直線,與過點且斜率為1的直線相交于拋物線上的一定點P,求直線AB的斜率; AB的斜率的值.

          二層:兩個一般或推廣到其它曲線(4分,問題與解答各占2分)

          試題詳情

          例:4.已知點R是拋物線上的定點.過點P作斜率分別為、的兩條直線,分別交拋物線于A、B兩點,試計算直線AB的斜率.

          三層:滿分(對拋物線,橢圓,雙曲線或對所有圓錐曲線成立的想法.)(7分,問題3分、解答4分)

          試題詳情

          例如:5.已知拋物線上有一定點P,過點P作斜率分別為、的兩條直線,分別交拋物線于A、B兩點,試計算直線AB的斜率.

          試題詳情

          過點P(),斜率互為相反數(shù)的直線可設為,,其中。

          試題詳情

           由,所以

          試題詳情

          試題詳情

          同理,把上式中換成,所以

          試題詳情

          當P為原點時直線AB的斜率不存在,當P不為原點時直線AB的斜率為。

          試題詳情

          (3)(理)點,設,則

          試題詳情

          設線段的中點是,斜率為,則=.12分

          試題詳情

          所以線段的垂直平分線的方程為,

          試題詳情

          又點在直線上,所以,而,于是.                                                       ……13分

          試題詳情

           (斜率,則--------------------------------13分)

          試題詳情

          線段所在直線的方程為,                  ……14分

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          代入,整理得               ……15分

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          ,。設線段長為,則

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          =

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                                         ……16分

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          因為,所以                ……18分

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          即:.()   

           

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          (文)設,則.               ……13分

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          設線段的中點是,斜率為,則=,……15分

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          線段的垂直平分線的方程為,             ……17分

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          又點在直線上,所以,

          試題詳情

          ,于是.故線段AB中點的橫坐標為.   ……18分

           

          試題詳情

          7、(2009上海十校聯(lián)考)已知等軸雙曲線的兩個焦點、在直線上,線段的中點是坐標原點,且雙曲線經(jīng)過點

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          (1)      若已知下列所給的三個方程中有一個是等軸雙曲線的方程:①;②;③.請確定哪個是等軸雙曲線的方程,并求出此雙曲線的實軸長;

          試題詳情

          (2)      現(xiàn)要在等軸雙曲線上選一處建一座碼頭,向、兩地轉運貨物.經(jīng)測算,從、從修建公路的費用都是每單位長度萬元,則碼頭應建在何處,才能使修建兩條公路的總費用最低?

          試題詳情

          (3)      如圖,函數(shù)的圖像也是雙曲線,請嘗試研究此雙曲線的性質,你能得到哪些結論?(本小題將按所得到的雙曲線性質的數(shù)量和質量酌情給分)

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          【解】(1)雙曲線的焦點在軸上,所以①不是雙曲線的方程……1分

          試題詳情

                 雙曲線不經(jīng)過點,所以②不是雙曲線的方程           …… 2分

          試題詳情

                  所以③是等軸雙曲線的方程                             …… 3分

          試題詳情

                  等軸雙曲線的焦點、在直線上,所以雙曲線的頂點也在直線上,                                                            …… 4分

          試題詳情

          聯(lián)立方程,解得雙曲線的兩頂點坐標為,,所以雙曲線的實軸長為                                         …… 5分

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          (2)      所求問題即為:在雙曲線求一點,使最。

          試題詳情

          首先,點應該選擇在等軸雙曲線的中第一象限的那一支上     …… 6分

          試題詳情

          等軸雙曲線的的長軸長為,所以其焦距為

          試題詳情

                 又因為雙曲線的兩個焦點、在直線上,線段的中點是原點,所以的一個焦點,                                           …… 7分

          試題詳情

          設雙曲線的另一個焦點為,由雙曲線的定義知:

          試題詳情

          所以,要求的最小值,只需求的最小值                                                                …… 8分

          試題詳情

          直線的方程為,所以直線與雙曲線在第一象限的交點為                                                             …… 9分

          試題詳情

              所以碼頭應在建點處,才能使修建兩條公路的總費用最低       …… 10分

           

          試題詳情

          (3)① ,此雙曲線是中心對稱圖形,對稱中心是原點;                                                  …… 1分

          試題詳情

          ② 漸近線是.當時,當無限增大時,無限趨近于,無限趨近;當無限增大時,無限趨近于.      …… 2分

          試題詳情

          ③ 雙曲線的對稱軸是.                             …… 3分

          試題詳情

          ④ 雙曲線的頂點為,,實軸在直線上,實軸長為                                                                 …… 4分

          試題詳情

          ⑤虛軸在直線,虛軸長為                                 …… 5分

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          ⑥焦點坐標為,焦距                     …… 6分

          說明:(i)若考生能把上述六條雙曲線的性質都寫出,建議此小題給滿分8分

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          (ii)若考生未能寫全上述六條雙曲線的性質,但是給出了的一些函數(shù)性質(諸如單調性、最值),那么這些函數(shù)性質部分最多給1分

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          8、(2009上海九校聯(lián)考)如圖,已知橢圓的焦點和上頂點分別為、,

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          我們稱為橢圓的特征三角形.如果兩個橢圓的         特征三角形是相似的,

          則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”,且三角形的相似比即為 橢圓的相似比.

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          (1)已知橢圓

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          判斷是否相似,

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          如果相似則求出的相似比,若不相似請說明理由;

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          (2)已知直線,與橢圓相似且半短軸長為的橢圓的方程,

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          在橢圓上是否存在兩點關于直線對稱,

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          若存在,則求出函數(shù)的解析式.

          試題詳情

          (3)根據(jù)與橢圓相似且半短軸長為的橢圓的方程,提出你認為有價值的  

          相似橢圓之間的三種性質(不需證明);

          解:

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          解:(1)橢圓相似. ………2分

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          因為的特征三角形是腰長為4,底邊長為的等腰三角形,

          試題詳情

          而橢圓的特征三角形是腰長為2,底邊長為的等腰三角形,

          試題詳情

          因此兩個等腰三角形相似,且相似比為   ……… 6分

                                                                               

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          (2)橢圓的方程為:.        ………8分

          試題詳情

          假定存在,則設、所在直線為,中點為.

          試題詳情

          .       ………10分

          試題詳情

          所以.

          試題詳情

          中點在直線上,所以有.         ………12分

          試題詳情

          .

          試題詳情

          .     ………14分

          試題詳情

          (3)橢圓的方程為:.        

          兩個相似橢圓之間的性質有:                          寫出一個給2分

          ①     兩個相似橢圓的面積之比為相似比的平方;

          ②     分別以兩個相似橢圓的頂點為頂點的四邊形也相似,相似比即為橢圓的相似比;

          ③     兩個相似橢圓被同一條直線所截得的線段中點重合;

          過原點的直線截相似橢圓所得線段長度之比恰為橢圓的相似比.   ………20分

           

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