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   1、函數(shù)的定義：初中階段的變化定義和高中階段的數(shù)集定義[一般的，設(shè)A、B時兩個非空數(shù)集，按照某種對應(yīng)法則f，若對于集合A中的每個元素x，在B中都有惟一的元素y與之對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做從A到B的一個函數(shù)。記為y=f(x),x∈A。x叫做自變量，y叫做函數(shù)值（或因變量）；]

   (1)A中每個元素在B中都有惟一的元素與之對應(yīng)；（2）B中的元素未必在A中有數(shù)與之對應(yīng)，有的話也未必惟一

注意函數(shù)與映射的關(guān)系：

2、函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應(yīng)法則

（1）定義域：定義域為集合，一般寫成集合的格式，區(qū)間是一種特殊的集合。當(dāng)定義域是緊跟解析式后面時，可以在小括號內(nèi)用不等式注明

常見求法：①每個式子有意義的不等式（組）的解集合；②實際問題除了原式外，還要根據(jù)實際情況確定函數(shù)的定義域；③f(t)定義域為Df[g(x)]的定義域為D₁

(2)值域與最值：函數(shù)值的取值范圍集合，稱此函數(shù)的值域；整個定義域范圍內(nèi)最大（�。┑暮瘮�(shù)值稱函數(shù)的最大（小）值，注意函數(shù)取最值時，對應(yīng)的x必須有解。

一般求法：代入法、圖象法、單調(diào)性法、反表示法

（3）對應(yīng)法則：函數(shù)的對應(yīng)法則不同，表現(xiàn)為函數(shù)的表示方法不同

①列表法（含Venn圖對應(yīng)表示）

②圖象法：一般描點(diǎn)法作圖；也可以根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)用初等變換作圖，如：

y=f(x)+ny=f(x)y=f(x-m)；函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱f(-x)=f(x)=f(|x|),關(guān)于原點(diǎn)對稱f(-x)=-f(x)

③解析法：解析式的一般求法: a，直接法：已知f(x) 解析式求f[g(x)]解析式; b，待定系數(shù)法：已知f(x)的結(jié)構(gòu)形式時; c，拼湊或換元法：已知f[g(x)]解析式求f(x)解析式時; d，代入消元法：當(dāng)“f”作用下，時，僅有x及另外一個與x有關(guān)的式子，可以用代換法得到另一式,消去其他，解出f(x)；僅有任意元素的式子時，進(jìn)行差異分析的賦值代換

④不能用列表法、圖象法、解析法表示的函數(shù)稱抽象函數(shù)

例1、已知函數(shù)解析式為y=x²,其值域為{1,4},求此函數(shù)的定義域

解：x²=1，解得x=±1，定義域中必須含有1或-1；x²=4解得x=±2，定義域中必須含有2或-2   ∴定義域為{-1,-2}或{-1,2}或{1,2}或{1,-2}或{-1,1,-2}或{-1,1,2}或{1,2,-2}或{-1,2,-2}或{-1,1,2,-2}之一

變式1：值域為[1，4]時，說明函數(shù)定義域的個數(shù)（作圖象，無數(shù)個）

變式2：值域為[0，4]時，寫出其一個定義域（解答不唯一，如：[-2,a]其中0≤a≤2或[a,2]其中-2≤a≤0）

例2、已知函數(shù)y=的最大值為4，最小值為-1，求這個函數(shù)的解析式

解：原式可變形為yx²-ax+y+b=0     *

函數(shù)定義域為R不空，方程*有解;y不恒為0，△=(-a)²-4y(y-b)≥0即y²-by-≤0

∵-1≤y≤4 ∴-1和4是f(y)=y²-by-的兩個零點(diǎn)∴∴

∴函數(shù)解析式為y=或之一

說明：這里用到了判別式，相應(yīng)稱判別式法

變形練習(xí):若a=1,b=0,求函數(shù)的值域（可以用判別式法，也可以根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)且x²+1≥2x求解，解答[-1/2,1/2]）

例3、已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足：對任意x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)

(1)  求f(0)的值

(2)  判斷函數(shù)的奇偶性

解；(1)令y=0有f(x+0)=f(x)+f(0),∴f(0)=0

(2)令y=-x有f(0)=f(x)+f(-x)=0∴f(-x)=-f(x)   ∴當(dāng)f(x)=0時，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；當(dāng)f(x)不恒為0時，為奇函數(shù)

說明：抽象函數(shù)解題一般要消除已知與結(jié)論間的差異，這種思想方法稱差異分析，其過程一般是：第一部，明確已知與所求各是什么，它們之間有什么差異

第二步：就找出的差異，找已知與結(jié)論間的聯(lián)系

第三步：消除差異，問題得解

變形練習(xí)1：加條件x>0時，f(x)>0,判斷函數(shù)的單調(diào)性（增）

變形練習(xí)2：再加條件f(1)=2,求y=f(x)在[-n,n]（其中n為正整數(shù)）的最值（f_最大(x)=f(n)=2n,f_最小(x)=f(-n)=-2n）

[B]組補(bǔ)充習(xí)題

1、n個人進(jìn)行抽簽淘汰制比賽（抽到?jīng)Q定比賽的對手，勝者進(jìn)入下一輪抽簽淘汰賽，敗者淘汰不再參加比賽），要決出惟一一個冠軍，需要進(jìn)行多少場比賽（   ）（其中n≥2，n∈N）

A,n/2      B,(n-1)/2      C,(n+1)/2      D,n-1

2、函數(shù)y=的定義域為___________

3、函數(shù)f(x)=a^x(a>0且a≠1)，在[1,2]上，f_max(x)-f_min(x)=,則a=__________

4、函數(shù)f(x)=x²-2ax   (1)如果f(x)在[0,2]上的最小值為-1，求實數(shù)a的值；(2)在(1)的條件下,函數(shù)的值域為[0,2],寫出函數(shù)的一個定義域

5、f(x)=定義域為R,值域為[0,2]，求m,n的值

6、y=f(x)是定義在(0,+∞)上的單調(diào)減函數(shù)，且對任意x,y,f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1

(1)求f(1)的值    (2)如果存在實數(shù)m,使f(m)=2,求m的值；(3)若f(x)+f(2-x)<2,求x的范圍

 [解答] D；2、{x|2<x≤3}； 3、3/2或1/2；4、(1)1;(2){x|1-≤x≤a,其中0≤a≤1+}（答案不唯一）；5、m=n=5；6、(1)0;   (2)1/9;   (3)(1-,1+)                       

函數(shù)復(fù)習(xí)二：函數(shù)的基本性質(zhì)

 [教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)]相關(guān)點(diǎn)法的操作步驟及應(yīng)用

[教學(xué)流程]

1、單調(diào)性：判斷函數(shù)的單調(diào)性一般方法有：

（1）圖象觀察法：①直接觀察，注意函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，有多個增（或減）區(qū)間時，是在各自單獨(dú)的區(qū)間列上單調(diào)，而不是取并集后形成的一個集合上單調(diào)。中學(xué)階段研究的主要是連續(xù)函數(shù)或分段連續(xù)函數(shù)，在考慮它的單調(diào)區(qū)間時，能包括的盡量包括端點(diǎn)；.②平移后單調(diào)性不變，奇函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)對稱區(qū)間上單調(diào)性相反；③注意“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是…”指的是全部，不能漏掉任何一段或一個值；它與 “在……區(qū)間上函數(shù)單調(diào)增（或減）”、“在….區(qū)間上函數(shù)是增（或減）函數(shù)”這兩種說法意義不同，后面兩種說法是單調(diào)區(qū)間上的一部分也可。

(2)解析式觀察法：實質(zhì)是看y隨x的增大而變化情況。經(jīng)常用到如下結(jié)論：①f(x)與Af(x)+B在同一區(qū)間上，當(dāng)A>0時單調(diào)性相同，在A<0時單調(diào)性相反；②f(x)恒正或恒負(fù)，則f(x)與在同區(qū)間上單調(diào)性相反；③f(x)與g(x)具有相同的單調(diào)性,則f(x)+g(x)與它們的單調(diào)性相同；④兩個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)同增異減(用時注意函數(shù)的定義域，將所求范圍全部轉(zhuǎn)化到x范圍上)

（3）定義驗證法：①原始定義：對區(qū)間D內(nèi)任意x₁,x₂，若當(dāng)<時，都有<,則說在這個區(qū)間上是增函數(shù)，有的書上用符號↑；若當(dāng)<時，都有>,則說在這個區(qū)間上是減函數(shù). 有的書上用符號↓；②變形定義：對于任意h>0,若f(x+h)>f(x),則f(x)單調(diào)增；若f(x+h)<f(x),f(x)單調(diào)減。

證明一個函數(shù)單調(diào)性目前只能用定義法，步驟：設(shè)值――作差變形――判斷結(jié)論，最常見變形有：分解因式、配平方、乘方及開方、有理化。

2、函數(shù)的奇偶性：

（1）定義：對定義域內(nèi)任意x，f(-x)=±f(x)，正為偶函數(shù)還有（f(x)=f(|x|)），負(fù)為奇函數(shù)

（2）函數(shù)奇偶性的判斷方法有圖象法和定義法，（注意判斷函數(shù)奇偶性的前提是定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱，步驟為：求出――指出――算出――斷出）。

   例1、f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在[0,+∞)上單調(diào)增，若f(2x-2)<f(1)，求x的范圍

   解：原不等式可以化為f(|2x-2|)<f(1)即|2x-2|<1,<x<

    例2、已知函數(shù)y=f(x)為定義在R上奇函數(shù)，且x>0時，f(x)=x²+x-1,求f(x)解析式

   解：[方法一]圖象法：

因函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)，f(0)=0;y=f(x)在x>0上過點(diǎn)(1,1),(2,5),(3,11)所以x<0時y=f(x)過點(diǎn)(-1,-1),(-2,-5),(-3,-11),由待定系數(shù)法解得x<0時f(x)=-x²+x+1,∴

f(x)=

點(diǎn)評說明：這一方法，需要已知式子的結(jié)構(gòu)形式，取點(diǎn)、運(yùn)算等比較煩瑣，能否進(jìn)一步改進(jìn)呢？

[方法二] 因函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)，f(0)=0.當(dāng)x<0時，-x>0,于是f(-x)=(-x)²+(-x)-1

=x²-x-1-f(x)=x²-x-1f(x) =-x²+x+1,∴f(x)=

   說明 1：這里我們將(x,f(x))與(-x,f(-x))兩個點(diǎn)，一個點(diǎn)隨另一個點(diǎn)的變動而變動，這樣的兩個點(diǎn)互稱相關(guān)點(diǎn)。相應(yīng)的這種方法稱相關(guān)點(diǎn)法。

   說明2：相關(guān)點(diǎn)法的解題步驟：第一步：設(shè)所求曲線（段）上任意一點(diǎn)為(x,y)

   第二步：用(x,y)表示其相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)(x₁,y₁)

   第三步：代入(x₁,y₁)滿足的條件關(guān)系式，必要時檢驗或加條件限制，即為所求（段）的關(guān)系式

   第四步：如果要求是總體，加以匯總。

   正因有代入這一項，有的書上也稱代入法

   說明3、通過相關(guān)點(diǎn)法，可以將難求的線轉(zhuǎn)化為點(diǎn)來求

   練習(xí)1：在上例中，若y=f(x)為偶函數(shù)，這樣的函數(shù)確定嗎？

（解答：不確定，f(x)=）

   練習(xí)2：給出函數(shù)y=f(x),求其關(guān)于直線x=a,y=b,點(diǎn)(a,0),點(diǎn)(0,b)及點(diǎn)(a,b)對稱的函數(shù)關(guān)系式。

解答

對稱直線或?qū)ΨQ點(diǎn)

對稱的函數(shù)關(guān)系式

直線x=a

y=f(2a-x)

直線y=b

y=2b-f(x)

點(diǎn)(a,0)

y=-f(2a-x)

點(diǎn)(0,b)

y=2b-f(-x)

點(diǎn)(a,b)

y=2b-f(2a-x)

[B]組補(bǔ)充習(xí)題

 1、x<0時，y=(x²-2x-3)單調(diào)增，則實數(shù)a的范圍是（     ）

A,(-1,0)       B,(0,1)       C,(-1,0)∪(0,1)       D,(1,+∞)

 2、x>0時，f(x)=|lgx|,且如果0<a<b則f(a)>f(b),則（    ）

A,ab>1        B,ab<1         C,ab=1           D,(a-b)(b-1)>0

  3、已知函數(shù)y=log_a(2-ax)在[0,1]上單調(diào)減，則a的范圍是____________

  4、當(dāng)x>0時，f(x)=x³+2x²,分別求函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)、偶函數(shù)時函數(shù)的解析式

  5、已知f(x²-3)=lg (1)求f(x)的解析式及定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性；(3)當(dāng)g(x)滿足f[g(x)]=lg(x+1)時，求g(3)

  6（選作）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),且f(-x)=-f(x),當(dāng)0<x<1時，f(x)=（1）求f(x)在[-1,1]上解析式；(2)判斷f(x)在(0,1)上的單調(diào)性；(3)當(dāng)λ為何值時，f(x)=λ在[-1,1]上有解

 [解答] 1、(-1,0)∪(0,1)； 2、B； 3、（1，2）；4、f(x)為奇函數(shù)時，f(x)=;f(x)為偶函數(shù)時，f(x)= ；5、(1)f(x)=lg,定義域為(-∞,-3)∪(3,+∞);(2)奇函數(shù)；（3）5；6、（1）f(x)=(2)↓;(3)(-,-)∪{0}∪(,)

                       函數(shù)復(fù)習(xí)三：函數(shù)圖象的對稱性

[教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)]結(jié)論的應(yīng)用

[教學(xué)流程]

   一、情景引入

  1、函數(shù)y=f(x-1)與y=f(1-x)關(guān)于什么對稱？（二者由y=f(x)及y=f(-x)分別向左移1個單位得到，而后兩者關(guān)于直線x=0對稱，從而原函數(shù)關(guān)于直線x=1對稱）

2、 對于一個具有奇偶性的函數(shù)y=f(x)的特征有：

名稱

函數(shù)的式子特征

函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)

f(-x)=-f(x)

關(guān)于原點(diǎn)對稱

偶函數(shù)

f(-x)=f(x)

關(guān)于y軸對稱

3、對于函數(shù)f(x)=x²-2x+3與y=的圖象各有什么對稱特征？（前者關(guān)于直線x=1對稱，后者關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱）

4、更一般的，如果一個函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a與點(diǎn)(a,0)對稱，函數(shù)式子有什么特征呢？引入標(biāo)題――函數(shù)圖象的對稱性

從圖象觀察，一個關(guān)于直線x=a對稱的函數(shù)y=f(x),它應(yīng)該滿足什么特征？

f(a-x)=f(a+x).      

   從數(shù)的形式上看，由相關(guān)點(diǎn)法的基本原理，設(shè)(x,f(x))是y=f(x)圖象上任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線x=a的對稱點(diǎn)(x₁,f(x))在函數(shù)圖象上，從而f(x₁)=f(x),而x與x₁到x軸上a對應(yīng)的點(diǎn)的距離相等，于是a-x=x₁-a,x₁=2a-x,從而f(x₁)=f(2a-x),于是f(2a-x)=f(x)（如圖2）

從圖象觀察出的結(jié)論與實際作出的結(jié)論形式不一樣！是否一致呢？

一方面，由f(2a-x)=f(x)對任意x成立，當(dāng)然對a+x也成立，于是f[2a-(a+x)]=f(a-x)=f(a+x)；

另一方面，由f(a-x)=f(a+x)成立，f(2a-x)=f[a+(a-x)]=f[a-(a-x)]=f(x),于是我們得到：

結(jié)論1：一個函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱f(a-x)=f(a+x)f(2a-x)=f(x)

仿照上面過程，請你導(dǎo)出函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱式子滿足的特征。

結(jié)論2：函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱f(a+x)=-f(a-x)(或表達(dá)為f(a+x)+f(a-x)=0)f(2a-x)=-f(x)（或f(2a-x)+f(x)=0）

思考1：一個函數(shù)y=f(x)的圖象能否關(guān)于直線y=b對稱？（除了函數(shù)f(x)=b外，其余不能，否則一個x對應(yīng)兩個y就不再是函數(shù)）

思考2：函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱，式子滿足什么特征？（f(x)+f(2a-x)=2b或者寫成f(a-x)+f(a+x)=2b）

三、結(jié)論應(yīng)用：

例1、已知函數(shù)y=f(x)滿足：對任意x，f(2+x)=f(2-x),如果函數(shù)y=f(x)有兩個不同的零點(diǎn)，求此兩個零點(diǎn)的和

解：由已知，函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，兩個不同零點(diǎn)也關(guān)于直線x=2對稱，設(shè)為x₁,x₂,于是2-x₁=x₂-2,x₁+x₂=4

變形1：有3個、4個、5個、n個零點(diǎn)，零點(diǎn)和各是多少呢？（6，8，10，2n）

變形2：已知條件改為“對任意x，f(2+x)=f(2-x),f(7+x)=f(7-x)且f(0)=0”則函數(shù)y=f(x)在[0,10]、[-10,10]、[-100,100]各有多少個零點(diǎn)？（3，5，3×20-19=41）

例2、函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱，當(dāng)x≥2時，f(x)=lg(x-1),(1)求函數(shù)的解析式；(2)作出函數(shù)的圖象；(3)指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

解：(1)x<2時，f(x)=-f(4-x)=-lg(4-x-1)=-lg(3-x)∴f(x)=

(2)

(3)函數(shù)的增區(qū)間是(-∞,+∞),無單調(diào)減區(qū)間

練習(xí)：一個函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a對稱，在[a+1,a+2]上單調(diào)增，則它在[a-2,a-1]上的單調(diào)性如何？在[a+1,a+2]上單調(diào)減呢？由此你能得到什么結(jié)論？（單調(diào)減，單調(diào)增，關(guān)于x=a對稱的函數(shù)在對稱軸兩側(cè)對稱區(qū)間上單調(diào)性相反）

思考：將上面練習(xí)中的直線x=a改成點(diǎn)(a,0),結(jié)論又如何？（關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱的函數(shù)在對稱中心兩側(cè)對稱區(qū)間上單調(diào)性相同）

2、關(guān)于x=a對稱的函數(shù)在對稱軸兩側(cè)對稱區(qū)間上單調(diào)性相反；關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱的函數(shù)在對稱中心兩側(cè)對稱區(qū)間上單調(diào)性相同

五、作業(yè)習(xí)題

1、y=f(x)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù)，且在(0,+∞)上單調(diào)增，f(-1)=0,則f(x+1)<0的解集為________________

2、函數(shù)y=在(-∞,a)上單調(diào)減，則實數(shù)a的范圍是（      ）

A, (-∞,0)     B,      C, (0,+∞)       D,

    3、第2題中，函數(shù)的對稱中心是_________________

4、定義在R上的奇函數(shù)y=f(x)還關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱，則它一定過下列哪些點(diǎn)（     ）

①(0,0);②(a,0);③(-a,-f(a));④(2a,0)

5、已知函數(shù)f(x)=x²-bx+c,f(0)=3,f(1+x)=f(1-x),則有(       )

A,f(b^x)≥f(c^x)  B,f(b^x)≤f(c^x) C, ,f(b^x)<f(c^x)       D,f(b^x)>f(c^x)

   6、函數(shù)f(x)=a^x-1+3關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對稱的函數(shù)記為y=g(x),則函數(shù)y=g(x)一定過定點(diǎn)________

   7、函數(shù)y=(x+1)³+1的對稱中心是__________

   8、已知函數(shù)f(x)=- (1)求證其圖象關(guān)于點(diǎn)(1/2,-1/2)對稱；

(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值；(3)求f(-n)+f(-n+1)+……+f(n)+f(n+1)的值

   9、y=f(x)為偶函數(shù)，f(1+x)=f(1-x),當(dāng)x∈(0,1)時，f(x)=lgx,求x∈(-2,-1)時函數(shù)解析式

   10、已知f(x)=lg，且y=g(x)圖象與y=-的圖象關(guān)于直線x=1對稱  (1)求F(x)=f(x)+g(x)的解析式與定義域，并判斷函數(shù)奇偶性；(2)在F(x)的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn)A、B，使AB⊥y軸，說明理由

 [答案] (-∞，-2)∪（-1，0）； B； (-1,-3)；①②③④； B；6、(-3,-4)； 7、（-1，1）；8、(2)-3；（3）-n-1；9、f(x)=lg(2+x)； 10、(1)F(x)=lg+,定義域(-1,0)∪(0,1)，是奇函數(shù)；(2)不存在，因函數(shù)在(-1,0)和(0,1)單調(diào)增，且在 (0,1)上F(x)>0,而在(-1,0)上F(x)<0

                       函數(shù)復(fù)習(xí)四：基本初等函數(shù)

[教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)]基本初等函數(shù)應(yīng)用

[教學(xué)流程]

1、初中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)

⑴一次函數(shù)：f(x)=kx+b(k≠0)，圖象為一條直線，在k>0時函數(shù)單調(diào)增，k<0時函數(shù)單調(diào)減

引申：一次函數(shù)f(x)=kx+b在(m,n)上，f(x)>c恒成立；一次函數(shù)f(x)=kx+b在(m,n)上，f(x)<c恒成立；函數(shù)f(x)=kx+b在[m,n]上，f(x)>c恒成立；函數(shù)f(x)=kx+b在[m,n]上，f(x)<c恒成立

⑵、二次函數(shù)

解析式形式

對稱軸

一般式f(x)=ax²+bx+c(a≠0)

x=-

零點(diǎn)式f(x)=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0)

x=

頂點(diǎn)式f(x)=a(x-h)²+k   (a≠0)

x=h

二次函數(shù)在一閉區(qū)間上的最值，一般結(jié)合圖象，取決于對稱軸、開口方向和定義域的相對位置。

⑶、反比例函數(shù)：f(x)=(k≠0)圖象是雙曲線，k>0時單調(diào)減區(qū)間為（－∞,0）及(0,+∞)；k<0時單調(diào)增區(qū)間為(-∞,0)及(0,+∞)

2、高中階段學(xué)習(xí)的函數(shù)

（1）常數(shù)函數(shù)f(x)=c(注意函數(shù)定義域)

（2）分段函數(shù)：圖象中間分段，注意書寫格式

（3）函數(shù)y=x+(k>0)，圖象：

⑷、指數(shù)與對數(shù)函數(shù)

①、指數(shù)與對數(shù)

類別

指數(shù)

對數(shù)

式子

a^b=N

log_aN=b

性質(zhì)

如果  a > 0 ， a ¹ 1， M > 0 ，N > 0，  那么；

；

;

  ( a > 0 ,a ¹ 1 ，m > 0 ,m ¹ 1,N>0)

②、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

類別

指數(shù)函數(shù)

對數(shù)函數(shù)

解析式

y=a^x(a>0,a≠1)

y=log_ax(a>0,a≠1)

圖象

定義域

(-∞,+∞)

（0，＋∞）

值域

(0,+∞)

（－∞，＋∞）

過定點(diǎn)

（0，1）

（1，0）

底數(shù)a對圖象的影響

x=1時，y=a；作x=1直線與圖象交點(diǎn)越在上a值越大

y=1時x=a；作y=1直線與圖象交點(diǎn)越在右a值越大

單調(diào)性

a>1時單調(diào)增，0<a<1時單調(diào)減

⑸、冪函數(shù)：f(x)=x^α（α∈R）

冪函數(shù)性質(zhì):1、所有的冪函數(shù)在（0，+∞）上都有意義，且都過點(diǎn)(1,1)

2、α>0時，冪函數(shù)的圖象還過原點(diǎn)，且在上↑。特別的，α>1時，圖象下凸；0<α<1時，圖象上凸

3、α<0時，冪函數(shù)圖象在(0,+∞)上↓，在第一象限內(nèi)向兩軸無限趨近。

例1、函數(shù)f(x)=x²-2x+3在區(qū)間[0,a]上最大值為3，最小值為2，求a的值或范圍

分析：已知中已經(jīng)內(nèi)含了一個已知條件a>1,而二次函數(shù)最值決定于對稱軸、定義域和開口方向的相對位置，體現(xiàn)相對關(guān)系的最基本方法是畫圖象，該問題可以體現(xiàn)為以下三種形式的圖象：

于是對應(yīng)有：（解為a=1）(恒成立)

（無解）   總之a(chǎn)∈[1,2]

   練習(xí)：f(x)=x²-2ax+3在[0,1]最大值為3，求實數(shù)a的范圍（a≥）

 例2、已知方程m=|a^x-1|+1(a>0,a≠1)有兩個不同的解，求實數(shù)m的范圍

  分析：作出y=|a^x-1|+1與y=m的圖象，根據(jù)圖象觀察交點(diǎn)的個數(shù)

a>1時，y=|a^x-1|+1=，如圖1，1<m<2

  0<a<1時，y=|a^x-1|+1=，如圖2，1<m<2     總之1<m<2

   練習(xí)：指數(shù)函數(shù)f(x)=a^x在[0,1]上最值和為3，求實數(shù)a的值   （2）

   例3、教材P95---30

2、分類討論的結(jié)果注意匯總

四、作業(yè)：[A]組P93----10,11,12,14,15

 [B]組補(bǔ)充習(xí)題

  1、已知函數(shù)f(x)=x²+2(a-2)x+5在(4,+∞)上單調(diào)增，則實數(shù)a的范圍是(     )A,a≤-2         B,a≥-2       C,a≤-6          D,a≥-6

  2、若冪函數(shù)y=(m²-3m-3)的圖象不過原點(diǎn)，則實數(shù)m的范圍是（   ）A,[-2,1]    B,{-1,4}   C,{-1}    D,{4}

  3、(1)0≤x≤4時，函數(shù)y=4^x-2^x+2+5的值域為______________

    （2）函數(shù)y=的值域為_____________

  4、將a的范圍填上

   (1)函數(shù)y=在(-∞，2)上單調(diào)增____________

   (2)函數(shù)y=log_a(2-ax)在[0,1]上是減函數(shù)___________

  5、函數(shù)y=log_ax在[2，4]上的最大值比最小值大1，求a

6、指數(shù)函數(shù)y=()^x的圖象如圖。

(1)在坐標(biāo)系內(nèi)畫出y=()^x的圖象

(2)求函數(shù)y=ax²+bx的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍

7、已知函數(shù)f(x)=log_a(1-a^x)(a>0且a≠1)(1)求f(x)的定義域、值域

(2)證明f(x)在定義域上是減函數(shù)

 [答案]；B；C；3、(1)[1,197];(2)(1,2)；4、(1)(-1,0)∪（0，1）   (2)(1,2)；5、1或2

6、(2)(-1/2,0)；7、 (1)a>1時，定義域、值域為(-∞，0)；0<a<1時，定義域、值域為(0,+∞)；(2)略

                       函數(shù)復(fù)習(xí)五：函數(shù)與方程、不等式

 [教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)]轉(zhuǎn)化關(guān)系

[教學(xué)流程]

特別的：

  1、指數(shù)方程與對數(shù)方程，可以轉(zhuǎn)化為學(xué)過的方程（與不等式組）進(jìn)行

方程形式

轉(zhuǎn)化成的形式

a^f(x)=a^g(x)

f(x)=g(x)

log_af(x)=log_ag(x)

f(x)=g(x)>0

2、指數(shù)與對數(shù)不等式也是等價轉(zhuǎn)化為已知的不等式組求解(根據(jù)單調(diào)性和定義域確定)

不等式

a>1時的轉(zhuǎn)化

0<a<1時的轉(zhuǎn)化

a^f(x)>a^g(x)

f(x)>g(x)

f(x)<g(x)

log_af(x)>log_ag(x)

f(x)>g(x)>0

0<f(x)<g(x)

3、方程的近解，只要在根“附近”異號，可以用二分法求方程的近似解（先通過圖形找出大致區(qū)間，依次取平均數(shù)找異號區(qū)間，直到達(dá)到精確度）

4、一元二次方程根的分布一般根據(jù)圖形得出其條件

例1、求函數(shù)y=的定義域

解：由已知即定義域為{x|x≥1000或0<x≤}

練習(xí)1：log_2a+1<1求a的范圍   （解答：a>-且a≠0）

例2、函數(shù)f(x)單調(diào)減，且f(-)≤f()≤f(-3),求函數(shù)y=log₂log₂的值域

解：-3≤≤-，即≤x≤2³，原函數(shù)可以化為y=(log₂x-log₂4)(log₂x-log₂2)

=(log₂x-2)(log₂x-1)=log₂²x-3log₂x+2,設(shè)t=log₂x,則y=t²-3t+2=f(t), ≤t≤3，作出函數(shù)的圖象有： y_max=f(3)=2,y_min=f()=-,函數(shù)值域為[-,2]

練習(xí)：設(shè)f(x)=,求f(x)=的解集（解答{3}）

例3、求函數(shù)y=lgx+x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(a,b),a、b為整數(shù)，則ab=________

分析：要看lgx+x-3=0的解的大致位置，只要看y=lgx與y=3-x函數(shù)交點(diǎn)對應(yīng)的x的范圍，可以用二分法大致估計交點(diǎn)的范圍，作出圖象

a=2,b=3,于是ab=6

 [B]組補(bǔ)充習(xí)題

1、下列函數(shù)圖象中，哪個不能用二分法求函數(shù)的近似零點(diǎn)（  ）

   2、方程lnx+x=3的解一定在區(qū)間（    ）

A,(1,2)     B,(2,3)    C,(3,4)    D,(4,5)

   3、函數(shù)f(x)=,則xf(x)-x≤2的解集為____________

   4、設(shè)0<a<1,log_a(a^2x-2a^x-2)<0的x的范圍是_________

   5、方程lgx+lg(1-x)=lga有兩個解，則a的范圍是_________

x

  1

  2

  3

  4

g(x)

1

1

3

3

  6、給出函數(shù)f(x)、g(x)如下表,lgx在f[g(x)]的值域中，求x的集合

x

 1

 2

 3

 4

f(x)

4

3

2

1

   7、解關(guān)于x的方程：4^x-6^x-2×9^x=0

   8（選作）、解關(guān)于a的不等式：>

[解答] 1、B； 2、B； 3、{-1}∪； 4、x<log_a3； 5、(0,1/4)； 6、{10000,100}； 7、{}；

8*、(-1,)∪(1,+∞)