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性

質(zhì)

（1）定義域：

（2）值域：

（3）過點(diǎn)，即當(dāng)時，

（4）在（0，+∞）上是增函數(shù)

（4）在上是減函數(shù)

3．例題分析：

例1、求下列各函數(shù)的定義域：（1）          ⑵

解：⑴，故定義域?yàn)?0,1)∪(1,+∞)

⑵設(shè)lg²x=t,則②為2-t-t²≥0，t²+t-2≤0,-2≤t≤1,-2≤lg²x≤1，

-1≤lgx≤1,10^-1≤x≤10      函數(shù)的定義域?yàn)閇,10]

說明1：求復(fù)合函數(shù)的定義域，需從對數(shù)的真數(shù)大于0，開平方時被開方數(shù)不小于0，分式的分母不等于0等處入手。同時如果有幾個約束條件需要考慮時，應(yīng)一一研究，防止遺漏。

說明2：此題只是對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的簡單應(yīng)用，注意書寫格式。

練習(xí)1 (教材P69------2)

例2、(教材P67例2)比較下列各組數(shù)中兩個值的大�。�

 （1），；  （2）log ₆7 , log ₇ 6；  （3）log ₃1.5 , log ₂ 0.8

解：（1）對數(shù)函數(shù)y=log_ax在上a>1時是增函數(shù)，0<a<1時是減函數(shù)；于是a>1時，log_a5.1<log_a5.9; 0<a<1時，log_a5.1>log_a5.9

（2）[方法一] （用中間值比較）log ₆7 >log₆6=1=log₇7>log ₇ 6

[方法二]（用換底公式）log ₆7 與log ₇ 6的大小與的大小lg²7與lg²6的大小lg7與lg6的大小，lg7>lg6,所以log ₆7 >log ₇ 6

（3）log ₃1.5>0> log ₂ 0.8

說明：本例是利用同底的對數(shù)函數(shù)的增減性比較兩個對數(shù)的大小的，底數(shù)與1的大小關(guān)系不明確時，要分情況對底數(shù)進(jìn)行討論來比較兩個對數(shù)的大��；非同底時，可以加入中間值進(jìn)行比較大小。

練習(xí)：教材P69------3

例3、將下列各組中數(shù)從小到大用<連接:（1） （2）;     ⑶

解：⑴（對這幾個數(shù)進(jìn)行分組，分為大于1，0到1之間和小于0三組，然后再在每一小組內(nèi)根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較大�。�，小于0的數(shù)log_0.43,大于0小于1的數(shù)log_0.20.3、log_0.20.4，大于1的數(shù)log_0.30.2,所以log_0.43<log_0.20.4<log_0.20.3<log_0.30.2

⑵（三個數(shù)都大于1，沒有辦法分組，但可以化成同底的對數(shù)加以比較）=，=，所以log₄5<3/2<log₂3

說明：多個對數(shù)比較大小時，可以分組比較，也可以化成同一底的對數(shù)加以比較

練習(xí)：比較0.3²，log₂0.5，log_0.51.5的大�。╨og₂0.5<log_0.51.5<0.3^2）

^{例4、求函數(shù)y=lg2x-4lgx+1,(1≤x≤1000)的值域}

^{解：設(shè)lgx=t∈[0,3],y=t2-4t+1,畫出圖象有}

   函數(shù)值域?yàn)閇-3，1]

   練習(xí)：當(dāng)2≤x≤4時，求函數(shù)y=的值域

（三）小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了對數(shù)函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)，掌握比較同底數(shù)對數(shù)大小的方法；

（四）、課后作業(yè)：教材P70-----2,3,7

補(bǔ)充作業(yè)

1．設(shè)y=lgx, 則下列結(jié)論中錯誤的是   (      )

A. x=1時,y=0  B. x>1時,y>0  C. 0<x<10時,0<y<1  D. x=10時, y=1

2．設(shè)，則f(3)的值是________-

3, 比較兩個數(shù)的大小:

4, 函數(shù)的定義域是_________

5．（1）函數(shù)與的圖象關(guān)于__________對稱；（2）函數(shù)與的圖象關(guān)于________對稱；（3）函數(shù)與的圖象關(guān)于_______對稱。

6. 求函數(shù)的值域

7. 設(shè)，定義在集合A上的函數(shù)的最大值比最小值大1，求a的值；

8*.函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)的值域?yàn)?sub>，求a的值

                             [答案]

1、C；   2、256；   3、>;   4、{x|x>2/7且x≠2/5}；5、⑴x軸；⑵y軸；⑶原點(diǎn)；

6、t=x²-6x+17≥8，=t≤8=-3，值域?yàn)?-∞，-3]

7、a>1時，↑，log_aπ-log_a2=1,a=π/2；0<a<1時，↓，log_a2 -log_aπ=1，a=2/π；總之，a=π/2或a=2/π

8*、y=(log_a²x+3log_ax+2),設(shè)log_ax=t,y=(t²+3t+2)∈，-2≤t≤-1,-2≤ log_ax ≤-1，因?yàn)?sub>故0<a<1,log_ax↓，a^-2≥x≥a^-1,這樣 ，a=

                §3.2.2對數(shù)函數(shù)⑵對數(shù)函數(shù)的圖象

[三維目標(biāo)]

[重點(diǎn)難點(diǎn)]圖象與解析式的對應(yīng)關(guān)系

[過程]

從圖象上看出：在y>0上圖象越靠右，底數(shù)a的值越大；特別的，取直線y=1，與函數(shù)y=log_ax圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是a，因此判斷對數(shù)函數(shù)的圖象對應(yīng)的底數(shù)大小，可以先作出y=1這條直線，通過與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)來體現(xiàn)。

例1、    的圖象如圖所示，那么a,b,c的大小關(guān)系是

解：作出y=1直線知：a>c>b

問題2：對數(shù)函數(shù)值什么情況下為正，什么情況下為負(fù)？

x范圍

區(qū)間（0，1）

區(qū)間（1，+∞）

a>1

-

+

0<a<1

+

-

總結(jié)：y=log_ax對于區(qū)間（0，1）及（1，+∞）而言，a與x在同區(qū)間函數(shù)值為正，異區(qū)間為負(fù)。

例2、已知，則m,n與1的大小關(guān)系是___________

解：π-3∈(0,1),二者都小于0，故m、n都大于1，作出圖象知m>n>1>0

練習(xí)：當(dāng)時，已知函數(shù)的圖象必過定點(diǎn)M，則M的坐標(biāo)為_____

（答案：(1,1)）

例3、試作出下列函數(shù)的圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的值域。

⑴  ；⑵；⑶

   解：⑴y=,在0<x<1上是將y=lgx的圖象關(guān)于x軸對稱，如圖，單調(diào)增區(qū)間，減區(qū)間，函數(shù)的值域?yàn)?sub>

    說明：y=|f(x)|的圖象在f(x)<0上的圖象是將y=f(x)該部分的圖象關(guān)于x軸對稱得到

⑵函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，從而可以得出函數(shù)的圖象；函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是(0,+∞)，單調(diào)減區(qū)間是（-∞，0），函數(shù)的值域是（-∞，+∞）

說明：作函數(shù)的圖象可以先根據(jù)函數(shù)的對稱或單調(diào)性質(zhì)，再作圖象

⑶，函數(shù)的圖象可看作由函數(shù)的圖象在x軸上方（包括在x軸上的點(diǎn)）的部分保持不變，而將x軸下方的部分作關(guān)于x軸的對稱而得到。所以可以先作的圖象，將該圖象沿x軸向左平移1個單位，得到函數(shù)的圖象，再通過對稱得到的圖象，最后再將得到的圖象沿y軸向上平移2個單位，就得到所求的圖象了。

單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，函數(shù)的值域?yàn)?sub>

[補(bǔ)充習(xí)題]

1、寫出下列a的范圍：⑴___________;⑵;⑶若函數(shù)y=log₂|ax-1|的對稱軸是直線x=2,則a=________;⑷定義在區(qū)間（－1，0）內(nèi)的函數(shù)滿足

2、⑴將函數(shù)y=log(x-1)的圖象經(jīng)過____________________平移，可得y=log(2x-2)的圖象；⑵把函數(shù)(a>0, a)的圖象向右平移兩個單位，圖象過定點(diǎn)____________

3、已知下列條件，寫出f(x)的解析式。⑴函數(shù)f(x)=a^x+k,它的圖像經(jīng)過點(diǎn)（1，7）及（0，4）,f(x)=________________;⑵函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且x>0時,f(x)=lg(x+1),則f(x)=________

4、函數(shù)y=log₂|x-1|的單調(diào)增區(qū)間是________

5、根據(jù)條件，將下列數(shù)從小到大用<號相連。⑴設(shè)M=log, ________；⑵若a²>b>a>1,試比較的大小.____________；⑶若，則m,n,0,1的關(guān)系為______________

6、求函數(shù)的值域；

7、已知函數(shù)f(x)=2+log₃x(1≤x≤9)，求函數(shù)y=[f(x)]²+f(x²)的最大值和最小值，并求出相應(yīng)x的值．

8*、求函數(shù)的定義域.

                       [解答]

1、⑴或a>1；⑵；⑶a=1/2;⑷0<a<1/2

2、⑴向上平行移動1個單位；⑵(4,0)

3、⑴f(x)=4^x+3；⑵f(x)=

4、（1，+∞）

5、⑴N < P <M;⑵;⑶0<n<m<1

6、y=(log_a²x+3log_ax+2),設(shè)log_ax=t,y=(t²+3t+2)∈

7、。令， ，y=t²+6t+6↑,t=1時y_min=6,此時x=1;t=1時y_max=13,此時x=3

8*、欲使f(x)有意義，須    1   當(dāng)k≤0時，1恒成立，即x∈R;當(dāng)k>0時：若即a>2，1成立⇔；若即a=2,易知，在0<k<1時，x∈R,在k≥1時，f(x)不存在；

若則

     綜上所述，(1)當(dāng)k≤0時，f(x)的定義域是R;

 (2)當(dāng)k>0時

a)           若a>2, f(x)的定義域是

b)若a=2, 在0<k<1時，f(x)的定義域是R,   在k≥1時，f(x)不存在；

     c) 若0<a<2, f(x)的定義域是

                     §3.2.2對數(shù)函數(shù)⑶對數(shù)的復(fù)合函數(shù)

    1、能根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象，畫出含有對數(shù)式的函數(shù)的圖象，并研究它們的有關(guān)性質(zhì)。

    2、能運(yùn)用函數(shù)的通性以及對數(shù)函數(shù)的特性，討論研究含有對數(shù)式的復(fù)合函數(shù)的值域、單調(diào)區(qū)間及判斷奇偶性；

    1、通過師生之間、學(xué)生與學(xué)生之間互相討論、交流，使學(xué)生學(xué)會共同學(xué)習(xí)。

2、通過探究、思考、交流，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題的能力，以及綜合運(yùn)用知識的能力。

    1、通過本課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生認(rèn)清指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)這兩類基本的初等函數(shù)在研究方法上的異同之處，使學(xué)生體會知識之間的有機(jī)聯(lián)系以及蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)思想和方法，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

    2、在數(shù)學(xué)過程中，通過學(xué)生的相互交流，加深對對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的理解，深化學(xué)生對函數(shù)圖象變化規(guī)律的理解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力，同時培養(yǎng)學(xué)生傾聽、接受別人意見的優(yōu)良品質(zhì)。

進(jìn)一步理解對數(shù)函數(shù)的定義,掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用

教學(xué)重點(diǎn)：1.復(fù)合函數(shù)的值域及單調(diào)區(qū)間；2.對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解題中的運(yùn)用。

教學(xué)難點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用1．掌握對數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法；

2．滲透應(yīng)用意識，培養(yǎng)歸納思維能力和邏輯推理能力，提高數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力。

教學(xué)過程：

    1、能根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象，畫出含有對數(shù)式的函數(shù)的圖象，并研究它們的有關(guān)性質(zhì)。

2、能運(yùn)用函數(shù)的通性以及對數(shù)函數(shù)的特性，討論研究含有對數(shù)式的復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)。

    1、通過師生之間、學(xué)生與學(xué)生之間互相討論、交流，使學(xué)生學(xué)會共同學(xué)習(xí)。

2、通過探究、思考、交流，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題的能力，以及綜合運(yùn)用知識的能力。

    1、通過本課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生認(rèn)清指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)這兩類基本的初等函數(shù)在研究方法上的異同之處，使學(xué)生體會知識之間的有機(jī)聯(lián)系以及蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)思想和方法，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

    2、在數(shù)學(xué)過程中，通過學(xué)生的相互交流，加深對對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的理解，深化學(xué)生對函數(shù)圖象變化規(guī)律的理解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力，同時培養(yǎng)學(xué)生傾聽、接受別人意見的優(yōu)良品質(zhì)。

教學(xué)重點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解題中的運(yùn)用。

教學(xué)難點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，滲透應(yīng)用意識，培養(yǎng)歸納思維能力和邏輯推理能力，提高數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力。

例1、求函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間？ 并在單調(diào)遞減區(qū)間上給予證明；

解：要使y有意義，須 ?x²+2x+3>0,解得-1<x<3,所以函數(shù)的定義域是(-1,3).

設(shè)t=?x²+2x+3 由0<?x²+2x+3=-(x-1)²+4≤4,知0<t≤4.

又∵是單調(diào)減函數(shù)，∴y≥-2,即所求函數(shù)的值域是[-2，+∞）.

因?yàn)楹瘮?shù)t=?x²+2x+3=-(x-1)²+4在（-1，1]上遞增。而在[1，3）上遞減，

所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（-1，1],單調(diào)增區(qū)間是[1，3）.

證明：對任意x₁,x₂,-1<x₁<x₂≤1，-x₁²+2x₁+3<-x₂²+2x₂+3, log_1/2(-x₁²+2x₁+3)>log_1/2(-x₂²+2x₂+3), 在（-1，1]上↓，同理在[1，3）上單調(diào)增

說明：利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性時，首先要考察函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法來求單調(diào)區(qū)間。

練習(xí)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（解答：增（-∞，1），減（1，+∞））

例2、判斷函數(shù)的奇偶性

解：函數(shù)定義域R,f(-x)=log₂(-x+)=log₂

=log₂(+x)^-1=-log₂(+x)=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù)

    練習(xí)：已知函數(shù)，(1)求的定義域；(2)判斷的奇偶性。

（解（1）∵，∴，又由得，   ∴ 的定義域?yàn)?sub>。（2）∵的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴為非奇非偶函數(shù)。）

    例3、已知y=(2-)在［0，1］上是x的減函數(shù)，求a的取值范圍.

解：∵a＞0且a≠1

當(dāng)a＞1時，函數(shù)t=2->0是減函數(shù)

由y= (2-)在［0，1］上x的減函數(shù)，知y=t是增函數(shù)，∴a＞1

由x［0，1］時，2-2-a＞0,得a＜2, ∴1＜a＜2

當(dāng)0<a<1時，函數(shù)t=2->0是增函數(shù)

由y= (2-)在［0，1］上x的減函數(shù)，知y=t是減函數(shù)，∴0<a<1

由x［0，1］時，2-2-1＞0, ∴0<a<1

綜上述，0<a<1或1＜a＜2

    練習(xí)：若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，的取值范圍。

（解：令，∵函數(shù)為減函數(shù)，∴在區(qū)間上遞減，且滿足，∴，解得，

所以，的取值范圍為．）

補(bǔ)充作業(yè)

1、已知偶函數(shù)f(x)在[2,4]上單調(diào)遞減,那么與的大小關(guān)系是____

2、如右圖所示，已知0＜a＜1，則在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=a^-x，和y＝log_a(－x)的圖像只可能是   (      )

3、函數(shù)y=lg（）的圖像關(guān)于_______________對稱

4、寫出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1） _____  （2）____________

5、寫出函數(shù)的定義域、值域：⑴ _________、_____________

   ⑵______________________、_________________

     6、求函數(shù)的定義域。

     7、已知，

（1）求f(x)的定義域；（2）判斷f(x)的奇偶性并證明；（3）求使的x的范圍。

8*．已知y=log₄(x+1+ax²).在下列條件下求實(shí)數(shù)a的范圍。(1)若函數(shù)的定義域?yàn)镽；(2)函數(shù)的值域?yàn)镽；

[答案]：

1、>

2、C

3、原點(diǎn)

4、⑴減區(qū)間，增區(qū)間；⑵減區(qū)間，增區(qū)間

5、⑴定義域[-1，1]，值域[0，1/2]；⑵定義域(-1,0),值域

6、log_a(x+a)<1；a>1時，x+a<a,定義域?yàn)閧x|-a<x<0};0<a<1時，定義域?yàn)閧x|x>0}

7、⑴(-1,1);⑵奇函數(shù)；⑶a>1時0<x<1；0<a<1時，-1<x<0

8*、⑴t=x+1+ax²>0恒成立，故a>1/4；⑵t=x+1+ax² 在t>0上沒有最值，a=0時可以；a≠0時，作二次函數(shù)圖象知a>0且△≥0，0<a≤1/4;總之，0≤a≤1/4）               

§3.2.2對數(shù)函數(shù)⑷對數(shù)方程與不等式

[三維目標(biāo)]

[重點(diǎn)難點(diǎn)]對數(shù)不等式的等價轉(zhuǎn)化

二、新課內(nèi)容：

例1、解下方程： （2） 

  解：(1)；(2) x= -1或

說明：解指數(shù)型方程先轉(zhuǎn)化為a^x=N后，有x=log_aN

例2、根據(jù)下列條件，分別求實(shí)數(shù)x的值？（1）

（2）

解：（1）2-x²=x>0,x=1（舍x= -2）  

（2）首先，-<x<1,原方程可以轉(zhuǎn)化為log₄[(3-x)(2x+1)]=log₄[(2-x)(3+x)] (3-x)(2x+1)]= (2-x)(3+x),x=0

說明：解對數(shù)方程log_af(x)=log_ag(x)f(x)=g(x)>0求解，注意一定要對數(shù)的真數(shù)大于0

例3、甲、乙兩人解關(guān)于x的方程:log₂x+b+clog_x2=0,甲寫錯了常數(shù)b，得到根、；乙寫錯了常數(shù)c，得到根、64.求這個方程真正的根.

解:原方程可變形為log₂²x+blog₂x+c=0.由于甲寫錯了常數(shù)b，得到的根為和，∴c=log₂?log₂=6.由于乙寫錯了常數(shù)c,得到的根為和64,∴b=－(log₂+log₂64)=－5.故原方程為log₂²x－5log₂x+6=0.因式分解得(log₂x－2)(log₂x－3)=0.∴l(xiāng)og₂x=2或log₂x=3，即x=4或x=8.         

例4、解不等式⑴ ⑵2×5^x+1-9>0

解：（1）0<x²+2x-3<3x+1x∈

⑵5^x+1>,x+1>log₅,x>log₅-1

說明：解log_af(x)>log_ag(x)的不等式，在a>1時等價于f(x)>g(x)>0;0<a<1時，等價于0<f(x)<g(x)

a^f(x)>N的不等式a>1時等價于f(x)>log_aN，0<a<1時等價于f(x)<log_aN

a^x=Nx=log_aN，log_af(x)=log_ag(x)f(x)=g(x)>0.

log_af(x)>log_ag(x)，在a>1時等價于f(x)>g(x)>0;0<a<1時，等價于0<f(x)<g(x)

a^f(x)>N的不等式a>1時等價于f(x)>log_aN，0<a<1時等價于f(x)<log_aN

思考：a^f(x)>b^g(x)（a,b>0）的對數(shù)不等式等價于____________;方程a^f(x)=b^g(x)（a,b>0）的對數(shù)不等式等價于__________(兩邊取常用對數(shù)f(x)lga>g(x)lgb,f(x)lga=g(x)lgb)

補(bǔ)充習(xí)題：

1、設(shè)，函數(shù)，則使的的取值范圍是 (  )

A.    B.     C.     D.

2、寫出下列解集⑴方程6⑵____________  ⑶  log()=x+ log()_____________；⑷不等式log_x-1(x²-1)>0_____

3、y=log₂(ax²+x+a)的值域?yàn)镽,如果a的范圍為T,log₄t∈T,則t的范圍是_________

4、方程log₂(x+4)=3^x的實(shí)數(shù)根的個數(shù)為________

5、如果函數(shù)在區(qū)間上恒有y>1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________

6、設(shè)f(x)=lg，且當(dāng)x∈(－∞,1］時f(x)有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

7、已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，且對任意x恒有f(2－x)=f(2+x)成立，

解不等式f［(x²+x+)］＞f［(2x²－x+)］

8*、設(shè)求x的取值范圍，使

解答：1、C

2、⑴{-log₇2};⑵{1，log₅3+1}；⑶{2};⑷(1,)∪(2,+∞)

3、[1，]

4、2

5、1<a<2

6、欲使x∈(－∞,1]時，f(x)有意義，需1+2^x+4^xa＞0恒成立，也就是a＞－［()^x+()^x］(x≤1)恒成立。所以只要a大于u(x)=－［()^x+()^x］在(－∞,1］上的最大值。   注意到u(x)=－［()^x+()^x］在(－∞,1］上是增函數(shù)，∴當(dāng)x=1時，［u(x)］_max=－.所以a的范圍即可求出  

7、x²+x+與2x²－x+都大于等于，其以1/2為底的對數(shù)就都不大于2，f(x)在x≤2上單調(diào)增(x²+x+)＞(2x²－x+) ，0<x²+x+< 2x²－x+,x>或x<

8*、>1, >0,()^2x+()^x-1>0, ()^x>,故a>b>0時x>log_a/b;a=b時x為全體實(shí)數(shù)；0<a<b時x<log_a/b